Calcolo limite con funzione inversa
qualcuno potrebbe per favore aiutarmi a calcolare questo limite?
per x-> 0
x/2 - g(x)
----------
x^a
con g(x) = f^(-1)x cioè g(x) inversa di f(x) e f(x)= x + sinx
e per ogni a>0
grazie mille!!
per x-> 0
x/2 - g(x)
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x^a
con g(x) = f^(-1)x cioè g(x) inversa di f(x) e f(x)= x + sinx
e per ogni a>0
grazie mille!!
Risposte
mah, così a occhio io applicherei la regola di l'Hopital, così possiamo sfruttare il fatto che sappiamo calcolare la derivata di g. Magari fai un salto qui, così puoi scrivere le formule in modo più leggibile: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
grazie mille!
allora:
$lim_(x->0)(x/2 - g(x))/x^alpha$
con $g(x)=f^-1(x)$ e $f(x)=x+sinx$
qualsiasi $alpha>0$
comunque ho usato de l'hopital, ma non capisco se poi devo sostituire g(x), perche non so come calcolare l'inversa! potresti mostrarmi il procedimento, per favore?
allora:
$lim_(x->0)(x/2 - g(x))/x^alpha$
con $g(x)=f^-1(x)$ e $f(x)=x+sinx$
qualsiasi $alpha>0$
comunque ho usato de l'hopital, ma non capisco se poi devo sostituire g(x), perche non so come calcolare l'inversa! potresti mostrarmi il procedimento, per favore?
"thinkpink":
perché non so come calcolare l'inversa!
È probabile, visto che non c'è modo (almeno, credo) di calcolarla per mezzo di funzioni elementari, cioè dato $y=x+sinx$ non esiste una formula elementare per calcolare $x$ in funzione di $y$. Non vale usare tecniche "ingenue" perché si dimostra facilmente che $f(x)=0 \hArr x=0$ e quindi siamo nel bel mezzo di una forma indeterminata. Dritta lampo: esprimere $sin(x)$ con le formule di Taylor e vedere se si riesce a combinare qualcosa (il mio quinto senso e mezzo mi dice che questo approccio è promettente).
Ciao
Ob
P.S. $sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$
Eh ma non mi pare il caso di calcolare l'inversa di $f$ esplicitamente, anche perché non credo che si arrivi da nessuna parte. Io stavo pensando a qualche sistema per calcolare il limite senza calcolare l'inversa. Mi ricordavo che fosse possibile calcolare la derivata della funzione inversa senza conoscere l'inversa esplicitamente ma purtroppo mi ricordavo male 
!
Prova con un cambio di variabile: invece di mandare $x$ a zero, poni $x=f(y)=y+sin\ y$ e manda a zero la $y$. Così tagli la testa al toro: $g(x)$ diventa semplicemente $y$.
P.S.:scrivevo contemporaneamente a Oblomov.
!Prova con un cambio di variabile: invece di mandare $x$ a zero, poni $x=f(y)=y+sin\ y$ e manda a zero la $y$. Così tagli la testa al toro: $g(x)$ diventa semplicemente $y$.
P.S.:scrivevo contemporaneamente a Oblomov.
ehm...innanzitutto grazie per l'interessamento, ma il mio problema non è di calcoli, ma di procedimento. cioè non so proprio dvoe mettere le mani!!! derivando una e poi un'altra volta arrivo a g(x)'' che però non so riscrivere in nessun'altro modo! anche esprimendola con taylor... fino a che ordine? :S
Si scusa ti ho confuso io col primo post. Non ce la fai a derivare direttamente la g, prima devi applicare un cambio di variabile così che la g sparisca. Vedi il mio post precedente.
Io farei così:
Controlla però perché potrei aver fatto errori.
Controlla però perché potrei aver fatto errori.
arrestandoci al primo ordine otteniamo il limite equivalente $lim y->0 1/2(3y-y+o(y^2))/(y+y+o(y^2))^alpha$
oooooooooooo!
ma se sviluppo taylor con o(y^2) poi il numeratore si annulla.....o sbaglio?
perchè:
$lim y->0 (1/2y+1/2y-y+o(y^2))/(y+siny)^alpha$
[/quote]
Si hai ragione. Proviamo a fare così:
dobbiamo calcolare $lim_{y\to0}1/2 (sin\ y - y)/((sin\ y +y )^alpha)$. Pacifico questo, o ho già sbagliato qualcosa?
Possiamo sostituire il denominatore con $(2y)^alpha$. Infatti $(sin\ y +y)^alpha/(2y)^alpha\to1$. Quindi calcoliamo $lim_{y\to0}1/(2^(alpha+1)) (sin\ y - y)/(y)^alpha$. Sei d'accordo?
Adesso sviluppiamo secondo Taylor, non basta il primo ordine quindi ci arrestiamo al terzo:
$lim_{y\to0}1/(2^(alpha+1)) (sin\ y - y)/(y)^alpha=lim_{y\to0}1/(2^(alpha+1)) (-1/(3!)y^3+o(y^4))/(y^alpha)$. Se $alpha<3$ quella cosa tende a zero. Se $alpha=3$ hai un $1/(2^4)*(-1/(3!))$. Se $alpha>3$ il limite non esiste.
Spero di non aver sbagliato anche stavolta (sarebbe la terza consecutiva! wow!).
dobbiamo calcolare $lim_{y\to0}1/2 (sin\ y - y)/((sin\ y +y )^alpha)$. Pacifico questo, o ho già sbagliato qualcosa?
Possiamo sostituire il denominatore con $(2y)^alpha$. Infatti $(sin\ y +y)^alpha/(2y)^alpha\to1$. Quindi calcoliamo $lim_{y\to0}1/(2^(alpha+1)) (sin\ y - y)/(y)^alpha$. Sei d'accordo?
Adesso sviluppiamo secondo Taylor, non basta il primo ordine quindi ci arrestiamo al terzo:
$lim_{y\to0}1/(2^(alpha+1)) (sin\ y - y)/(y)^alpha=lim_{y\to0}1/(2^(alpha+1)) (-1/(3!)y^3+o(y^4))/(y^alpha)$. Se $alpha<3$ quella cosa tende a zero. Se $alpha=3$ hai un $1/(2^4)*(-1/(3!))$. Se $alpha>3$ il limite non esiste.
Spero di non aver sbagliato anche stavolta (sarebbe la terza consecutiva! wow!).
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