Calcolo limite con esponenziale

[matanduins98]

Ciao a tutti!
Vi chiedo una mano con questo limite

[math] \lim_{x \to +\infty}{(x-\sqrt{x^2-2x})^x}
[/math]

Ho provato a ricondurmi alla forma esponenziale ottenendo

[math]e^{\lim_{x \to +\infty}{x(x-\sqrt{x^2-2x})}}[/math]

ma non riesco a risolvere il limite all'esponente, perché ritorno sempre ad avere forme indeterminate. Probabilmente devo evidenziale qualche limite notevole, riuscite ad aiutarmi?
Grazie!

[Anthrax606]

Attento che per ricondurti alla forma esponenziale dovresti fare

[math]lim_{x \to +\infty} e^{xln \left(x-\sqrt{x^2-2x} \right)}=e^{lim_{x \to +\infty}(xln(x-\sqrt{x^2-2x}))}[/math]

e prova un po’ a razionalizzare ;)

[matanduins98]

Grazie! Sono riuscito a venirne a capo, riporto il procedimento che magari potrebbe essere d'aiuto ad altri studenti!
Il problema ora è risolvere il limite all'esponente, iniziamo cercando di riportarci al limite notevole

[math]\lim_{t\to\0} \frac{ln(1+t)}{t} = 1[/math]

. Possiamo aggiungere e togliere 1 dentro all'argomento del logaritmo, moltiplicando e dividendo poi per "l'argomento iniziale del logaritmo -1", ottenendo questa situazione

[math]\lim_{x\to\0} x\frac{ln(1+(x-1-\sqrt{x^2-2x}))}{x-1-\sqrt{x^2-2x}}(x-1-\sqrt{x^2-2x})[/math]

. La frazione ottenuta è esattamente il limite notevole cercato, che tende ad uno e che quindi possiamo non considerare. Ora possiamo quindi concentrarci sul limite molto più semplice

[math]\lim_{x\to\0} x(x-1-\sqrt{x^2-2x})[/math]

, dove possiamo eliminare l'indeterminazione razionalizzando, ottenendo il valore

[math]\frac{1}{2}[/math]

. Il risultato è quindi

[math]\lim_{x\to+\infty} (x-\sqrt{x^2-2x})^x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}[/math]

.