Calcolo limite
Il limite è il seguente per n che tende a Infinito:
$n^3*(ln((n+1)/n)-1/n+1/(2n^2))$
Ovviamente non voglio la soluzione già pronta ma capire come affrontare questi limiti. Siccome ho provato a fare un po di calcoli e mi si presentava una cosa del genere $n^3(ln((n+1)/n)+n^2/n^3+n/(2n^3))$ e quindi una bella forma indeterminata 0*infinito. Ho provato anche ad usare taylor impostando $y=1/n$ ma senza grandi risultati. Allora vi chiedo come posso fare?
$n^3*(ln((n+1)/n)-1/n+1/(2n^2))$
Ovviamente non voglio la soluzione già pronta ma capire come affrontare questi limiti. Siccome ho provato a fare un po di calcoli e mi si presentava una cosa del genere $n^3(ln((n+1)/n)+n^2/n^3+n/(2n^3))$ e quindi una bella forma indeterminata 0*infinito. Ho provato anche ad usare taylor impostando $y=1/n$ ma senza grandi risultati. Allora vi chiedo come posso fare?
Risposte
Allora non ho capito bene il limite com'è, ma se è di questa forma $n^3(log(...) -1/n +1/(2n^2))$ allora, gli ultimi due termine della successione vanno a 0, quello che da problemi è il logaritmo. Allora sfruttiamo il fatto che:
$n^3(log(n+1)/n) = (log(n+1)/n)^(n^3)$ e sfruttando il fatto che:
$(a_n)^(b_n) = e^((b_n)log(a_n))$ allora $e^((n^3)loglog(...))$
(ho usato la notazione $log(...)$ perchè mi scocciavo di riscrivere il tutto, tanto sappiamo che l'argomento del log va a 1), quindi
$e^((n^3)loglog1) => e^((n^3)log0) => e^(-oo) = 0$
quindi il limite iniziale dovrebbe tendere a $0$
$n^3(log(n+1)/n) = (log(n+1)/n)^(n^3)$ e sfruttando il fatto che:
$(a_n)^(b_n) = e^((b_n)log(a_n))$ allora $e^((n^3)loglog(...))$
(ho usato la notazione $log(...)$ perchè mi scocciavo di riscrivere il tutto, tanto sappiamo che l'argomento del log va a 1), quindi
$e^((n^3)loglog1) => e^((n^3)log0) => e^(-oo) = 0$
quindi il limite iniziale dovrebbe tendere a $0$
@cestra: Individua l'infinitesimo d'ordine maggiore tra gli addendi in parentesi e mettilo in evidenza. Tutto qui.
@Lorin:
Perchè dici ciò?
A me pare che $log((n+1)/n)\to log(1)=0$...
Non credo che ciò sia vero... Fa' più attenzione a ciò che scrivi.
@Lorin:
"Lorin":
Allora non ho capito bene il limite com'è, ma se è di questa forma $n^3(log(...) -1/n +1/(2n^2))$ allora, gli ultimi due termine della successione vanno a 0, quello che da problemi è il logaritmo.
Perchè dici ciò?
A me pare che $log((n+1)/n)\to log(1)=0$...
"Lorin":
Allora sfruttiamo il fatto che:
$n^3(log(n+1)/n) = (log(n+1)/n)^(n^3)$
Non credo che ciò sia vero... Fa' più attenzione a ciò che scrivi.
Si vorrei chiedere scusa per il gravissimo errore che ho commesso, stamattina in treno ci stavo proprio pensando e mi sono subito reso conto dell'errore, forse sarà stata l'ora tarda, forse lo stress delle prove intercorso che sto affrontando; sono sicuro delle mie conoscenze e mi scuso ancora per il mio post orrendo.
Mamma mia Lorin... 
La fai più grave di quanto non sia. Capita a tutti di sbagliare, tranquillo.
La fai più grave di quanto non sia. Capita a tutti di sbagliare, tranquillo.
Si è che ci tengo troppo a queste cose, allora alcune volte me la prendo per i miei errori anche in modo esagerato, sopratutto sulle cose a cui tengo molto.
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