Calcolo limite
Ciao,
ho i seguenti limiti:
$\lim_{x \to 0}\frac{(\alpha+x)^4-\alpha^4}{x}=4\alpha^3$ e $\lim_{x \to 0}\frac{(\alpha+x)^2-\alpha^2}{x}=2\alpha$
Non saprei risolverli, so solo il risultato... tuttavia hanno una certa somiglianza con il limite notevole:
$\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^c-1}{x}=c$
Facendo un confronto, deduco che esista un limite notevole più generale... che secondo le mie stime, dato che non lo trovo da nessuna parte, dovrebbe essere:
$\lim_{x \to 0}\frac{(\alpha+f(x))^c-\alpha^n}{f(x)}=c\alpha^(n-1)$
La mia osservazione è corretta? Altrimenti come si fanno a risolvere tali limiti?
ho i seguenti limiti:
$\lim_{x \to 0}\frac{(\alpha+x)^4-\alpha^4}{x}=4\alpha^3$ e $\lim_{x \to 0}\frac{(\alpha+x)^2-\alpha^2}{x}=2\alpha$
Non saprei risolverli, so solo il risultato... tuttavia hanno una certa somiglianza con il limite notevole:
$\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^c-1}{x}=c$
Facendo un confronto, deduco che esista un limite notevole più generale... che secondo le mie stime, dato che non lo trovo da nessuna parte, dovrebbe essere:
$\lim_{x \to 0}\frac{(\alpha+f(x))^c-\alpha^n}{f(x)}=c\alpha^(n-1)$
La mia osservazione è corretta? Altrimenti come si fanno a risolvere tali limiti?
Risposte
Limiti notevoli 
$ \lim_{x \to 0}\frac{(\alpha+x)^2-\alpha^2}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{\alpha^2+2\alphax+x^2-\alpha^2}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{2\alphax+x^2}{x}= \lim_{x \to 0}2\alpha+x=2\alpha$
Stessa cosa per l'altro
$ \lim_{x \to 0}\frac{(\alpha+x)^2-\alpha^2}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{\alpha^2+2\alphax+x^2-\alpha^2}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{2\alphax+x^2}{x}= \lim_{x \to 0}2\alpha+x=2\alpha$
Stessa cosa per l'altro
Grazie!
Mi sentivo la medaglia Fields al collo per aver costruito un nuovo limite notevole... e invece...
Mi sentivo la medaglia Fields al collo per aver costruito un nuovo limite notevole... e invece...
Ciao Antinomio,
Per il primo limite proposto si ha:
$ \lim_{x \to 0}\frac{(\alpha+x)^4-\alpha^4}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{[(\alpha+x)^2+\alpha^2][(\alpha+x)^2-\alpha^2]}{x} = $
$ = lim_{x \to 0}\frac{[(\alpha+x)^2+\alpha^2](\alpha^2 +2\alpha x +x^2 -\alpha^2)}{x} = lim_{x \to 0} [(\alpha+x)^2+\alpha^2](2\alpha + x) = 2\alpha^2 \cdot 2\alpha = 4\alpha^3 $
Mi sa che dovrai impegnarti un po' di più...
Per il primo limite proposto si ha:
$ \lim_{x \to 0}\frac{(\alpha+x)^4-\alpha^4}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{[(\alpha+x)^2+\alpha^2][(\alpha+x)^2-\alpha^2]}{x} = $
$ = lim_{x \to 0}\frac{[(\alpha+x)^2+\alpha^2](\alpha^2 +2\alpha x +x^2 -\alpha^2)}{x} = lim_{x \to 0} [(\alpha+x)^2+\alpha^2](2\alpha + x) = 2\alpha^2 \cdot 2\alpha = 4\alpha^3 $
"Antinomio":
Mi sentivo la medaglia Fields al collo per aver costruito un nuovo limite notevole...
Mi sa che dovrai impegnarti un po' di più...
Aggiungo una cosa, sebbene il topic sia risolto.
In generale, vale il limite notevole:
$lim_(x->0) ((1+x)^a-1)/x=a$ con $a in RR$
Ora, nel tuo caso:
$lim_(x->0) ((\alpha+x)^a-\alpha^a)/x$
Raccogliendo:
$lim_(x->0) (\alpha^a(1+x/\alpha)^a-\alpha^a)/x$
$lim_(x->0) (\alpha^a*((1+x/\alpha)^a-1))/x$
$\alpha^a * lim_(x->0) ((1+x/\alpha)^a-1)/x$
Ora basta ricondursi al limite notevole sopra, dividendo e moltiplicando per $\alpha$.
$\alpha ^a * lim_(x->0) ((1+x/\alpha)^a-1)/(x/\alpha)*1/\alpha = a*\alpha^(a-1)$
Ad esempio, se non ho sbagliato qualcosa:
$lim_(x->0) ((e+x)^(29)-e^(29))/x = 29*e^(28)$
In generale, vale il limite notevole:
$lim_(x->0) ((1+x)^a-1)/x=a$ con $a in RR$
Ora, nel tuo caso:
$lim_(x->0) ((\alpha+x)^a-\alpha^a)/x$
Raccogliendo:
$lim_(x->0) (\alpha^a(1+x/\alpha)^a-\alpha^a)/x$
$lim_(x->0) (\alpha^a*((1+x/\alpha)^a-1))/x$
$\alpha^a * lim_(x->0) ((1+x/\alpha)^a-1)/x$
Ora basta ricondursi al limite notevole sopra, dividendo e moltiplicando per $\alpha$.
$\alpha ^a * lim_(x->0) ((1+x/\alpha)^a-1)/(x/\alpha)*1/\alpha = a*\alpha^(a-1)$
Ad esempio, se non ho sbagliato qualcosa:
$lim_(x->0) ((e+x)^(29)-e^(29))/x = 29*e^(28)$
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