Calcolo limite
$lim _(xtoinfty)((x^(1/2)+2^x+2)/(x^(1/2)+2^x))^(x^(1/2)*sinx)$
salve ho questo dubbio dato che il limite di sinx per x che tende allìinfinito non esiste posso non cosiderarlo...e risolvere il limite normalmente come se non ci fosse?
salve ho questo dubbio dato che il limite di sinx per x che tende allìinfinito non esiste posso non cosiderarlo...e risolvere il limite normalmente come se non ci fosse?
Risposte
No.
"gugo82":
No.
e come potrei fare?
Ciao lepre561,
Prova a scriverlo così:
$\lim_{x \to +\infty} ((x^(1/2)+2^x+2)/(x^(1/2)+2^x))^(x^(1/2) sinx) = \lim_{x \to +\infty} (1 + 2/(x^(1/2)+2^x))^(x^(1/2) sinx) $
Ora dovresti riuscire a vedere qualcosa che ti riconduce ad un ben noto limite notevole...
"lepre561":
e come potrei fare?
Prova a scriverlo così:
$\lim_{x \to +\infty} ((x^(1/2)+2^x+2)/(x^(1/2)+2^x))^(x^(1/2) sinx) = \lim_{x \to +\infty} (1 + 2/(x^(1/2)+2^x))^(x^(1/2) sinx) $
Ora dovresti riuscire a vedere qualcosa che ti riconduce ad un ben noto limite notevole...
'si ma il limite l ho anche risolto ma è quel sinx che mi blocca senza quello il risultato è $e^2$ ma con il $sinx$...?
Decidi: l'hai risolto o il $sin x$ ti blocca?
Sono alternative che si escludono a vicenda.
Riscritto il limite come suggerito da pilloeffe, c'è un passaggino da fare per ricondurre il tutto ad un limite notevole; poi devi andarti a guardare cosa accade all'esponente.
Prova a postare i conti.
Sono alternative che si escludono a vicenda.
Riscritto il limite come suggerito da pilloeffe, c'è un passaggino da fare per ricondurre il tutto ad un limite notevole; poi devi andarti a guardare cosa accade all'esponente.
Prova a postare i conti.
"lepre561":
il limite l'ho anche risolto ma è quel $sinx$ che mi blocca, senza quello il risultato è $e^2 $
Posso anche sbagliarmi, ma a me non risulta $e^2 $, bensì $1 $...
"pilloeffe":
[quote="lepre561"]il limite l'ho anche risolto ma è quel $sinx$ che mi blocca, senza quello il risultato è $e^2 $
Posso anche sbagliarmi, ma a me non risulta $e^2 $, bensì $1 $...
[/quote]ma quello non è il limite notevole $(1+2/x)^x$?
"gugo82":
Decidi: l'hai risolto o il $sin x$ ti blocca?
Sono alternative che si escludono a vicenda.
Riscritto il limite come suggerito da pilloeffe, c'è un passaggino da fare per ricondurre il tutto ad un limite notevole; poi devi andarti a guardare cosa accade all'esponente.
Prova a postare i conti.
l ho risolto come se non ci fosse $sinx$ ed ho utilizzato il procedimento di pilloeffe ma con il $sinx$ non so cosa fare
"lepre561":
[quote="gugo82"]Decidi: l'hai risolto o il $sin x$ ti blocca?
Sono alternative che si escludono a vicenda.
Riscritto il limite come suggerito da pilloeffe, c'è un passaggino da fare per ricondurre il tutto ad un limite notevole; poi devi andarti a guardare cosa accade all'esponente.
Prova a postare i conti.
l ho risolto come se non ci fosse $sinx$ [...][/quote]
Ma $sin x$ "ci fosse"... Quindi non hai risolto questo esercizio bensì un altro.
"lepre561":
[...] ed ho utilizzato il procedimento di pilloeffe ma con il $sinx$ non so cosa fare
Si risolve uguale.
Posta i calcoli.
$(1+(2/(sqrtx(1+(2^x)/(sqrtx))))^(sqrtx*sinx)$
non so più continuare
non so più continuare
Anche a me viene $1$. Il limite inoltre c'è solo a $+infty$
Per maggiore semplicità in questi casi conviene porre il limite sempre nella forma $lim_(x->infty)e^(log(1+2/(sqrtx+2^x))^(sqrtxsinx))$, a questo punto basta risolvere il limite ad esponente $lim_(x->infty)log(1+2/(sqrtx+2^x))^(sqrtxsinx)$ ed utilizzando le ben note proprietà sui logaritmi possiamo riscrivere $lim_(x->infty)(sqrtxsinx)log(1+2/(sqrtx+2^x))$ $=lim_(x->infty)(sqrtxsinx)×lim_(x->infty)log(1+2/(sqrtx+2^x))$, adesso osservando il ben noto limite notevole(asintotico) del logaritmo dovresti concludere facilmente che il tutto tende a zero,e che quindi il risultato del limite originale è $1$.
"lepre561":
non so più continuare
Prova a cercare di rielabolarlo in modo da riuscire a fare uso del limite notevole seguente:
$\lim_{f(x) \to +\infty} (1 + \frac{1}{f(x)})^{f(x)} = e $
@SirDanielFortesque
"SirDanielFortesque":
Anche a me viene $1$
"SirDanielFortesque":
Il limite inoltre c'è solo a $+\infty $
Beh, ovviamente, dato che $\sqrt{x} $ ha dominio $D = [0, +\infty) $...
Scusate ma la forma che ho proposto a me sembra più immediata, mi sbaglio?
Ciao francicko,
Certo, è corretta anche la soluzione che hai proposto tu, sul fatto che sia più immediata è opinabile...
Così, a sensazione, a me è sembrato che l'OP cercasse una soluzione sul genere di quella verso la quale stiamo cercando di indirizzarlo gugo82 ed io...
Certo, è corretta anche la soluzione che hai proposto tu, sul fatto che sia più immediata è opinabile...
Così, a sensazione, a me è sembrato che l'OP cercasse una soluzione sul genere di quella verso la quale stiamo cercando di indirizzarlo gugo82 ed io...
"lepre561":
$(1+2/(sqrtx(1+(2^x)/(sqrtx))))^(sqrtx*sinx)$
non so più continuare
Grazie che non sai continuare... Metti in evidenza l'infinito di ordine inferiore.
I calcoli con le somme di infiniti vanno fatti mettendo in evidenza gli infiniti di ordine superiore.
"francicko":
Per maggiore semplicità in questi casi conviene porre il limite sempre nella forma $lim_(x->infty)e^(log(1+2/(sqrtx+2^x))^(sqrtxsinx))$, a questo punto basta risolvere il limite ad esponente $lim_(x->infty)log(1+2/(sqrtx+2^x))^(sqrtxsinx)$ ed utilizzando le ben note proprietà sui logaritmi possiamo riscrivere $lim_(x->infty)(sqrtxsinx)log(1+2/(sqrtx+2^x))$ $=lim_(x->infty)(sqrtxsinx)×lim_(x->infty)log(1+2/(sqrtx+2^x))$, adesso osservando il ben noto limite notevole(asintotico) del logaritmo dovresti concludere facilmente che il tutto tende a zero,e che quindi il risultato del limite originale è $1$.
giusto due dubbi il primo...questo limite
$lim_(x->infty)log(1+2/(sqrtx+2^x))$ asintoticamente a cosa tende perchè di limiti asintotici non riesco a trovare la forma per risolvere questo limite
secondo dubbio
$=lim_(x->infty)(sqrtxsinx)$ questo limite a cosa tende e come fai a risolverlo dato che $lim_(xtoinfty) sinx$ non esiste?
Dunque... Partiamo dal metodo che ti ha indicato francicko:
$\lim_{x \to +\infty}(sqrtxsinx) log(1+2/(sqrtx+2^x)) = \lim_{x \to +\infty}\frac{2sqrtxsinx}{sqrtx+2^x} \cdot \frac{log(1+2/(sqrtx+2^x))}{2/(sqrtx+2^x)} = 0 \cdot 1 = 0 $
Dato poi che $e^0 = 1 $, ecco che il limite proposto vale $1 $.
Invece il metodo al quale volevamo condurti gugo82 ed io è il seguente:
$ \lim_{x \to +\infty}(1+ 1/\frac{sqrtx + 2^x}{2})^(sqrtx sinx) = \lim_{x \to +\infty}[(1+ 1/\frac{sqrtx + 2^x}{2})^{\frac{sqrtx + 2^x}{2}}]^{\frac{sqrtx sinx}{\frac{sqrtx + 2^x}{2}}} = e^0 = 1 $
$\lim_{x \to +\infty}(sqrtxsinx) log(1+2/(sqrtx+2^x)) = \lim_{x \to +\infty}\frac{2sqrtxsinx}{sqrtx+2^x} \cdot \frac{log(1+2/(sqrtx+2^x))}{2/(sqrtx+2^x)} = 0 \cdot 1 = 0 $
Dato poi che $e^0 = 1 $, ecco che il limite proposto vale $1 $.
Invece il metodo al quale volevamo condurti gugo82 ed io è il seguente:
$ \lim_{x \to +\infty}(1+ 1/\frac{sqrtx + 2^x}{2})^(sqrtx sinx) = \lim_{x \to +\infty}[(1+ 1/\frac{sqrtx + 2^x}{2})^{\frac{sqrtx + 2^x}{2}}]^{\frac{sqrtx sinx}{\frac{sqrtx + 2^x}{2}}} = e^0 = 1 $
In generale per $f(x)->0$ risulta $log(1+f(x))~~f(x)$ quindi nel nostro caso $log(1+2/(sqrtx+2^x))~~2/(sqrtx+2^x)$, osservando che a denominatore hai una somma e che l'infinito di ordine superiore prevalente è $2^x$, trascurando $sqrtx$, potresti scrivere ancora $2/(sqrtx+2^x)~~2/2^x$;
Sostituendo avremo $lim_(x->infty)sinx sqrtx 2/2^x$ $=lim_(x->infty)sinx×lim_(x->infty)2sqrtx/2^x$, adesso risulta $lim_(x->infty)2sqrtx/2^x=0$ cioe un infinitesimo, in quanto $2^x$ volge ad $infty$ più velocemente rispetto ad $2sqrtx$, mentre il limite di $lim_(x->infty)sinx$ non esiste , in quanto è una quantità che oscilla tra $1$ ed$-1$, quindi risulta però essere limitata, ed in generale si dimostra che il prodotto di una quantità limitata per un infinitesimo da un infinitesimo, cioe il limite risulta $0$ .
Sostituendo avremo $lim_(x->infty)sinx sqrtx 2/2^x$ $=lim_(x->infty)sinx×lim_(x->infty)2sqrtx/2^x$, adesso risulta $lim_(x->infty)2sqrtx/2^x=0$ cioe un infinitesimo, in quanto $2^x$ volge ad $infty$ più velocemente rispetto ad $2sqrtx$, mentre il limite di $lim_(x->infty)sinx$ non esiste , in quanto è una quantità che oscilla tra $1$ ed$-1$, quindi risulta però essere limitata, ed in generale si dimostra che il prodotto di una quantità limitata per un infinitesimo da un infinitesimo, cioe il limite risulta $0$ .
perfetto quindi in qualunque caso ho $0*lim_(xtoinfty)sinx o (cosx)$ questo limite tende a zero?
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