Calcolo limite
Vorrei risolvere questo limite senza utilizzare DH o sviluppi di Taylor
$lim_{x\to 0} (sin(x)-x)/x^3$. Qualcuno ha qualche idea?
$lim_{x\to 0} (sin(x)-x)/x^3$. Qualcuno ha qualche idea?
Risposte
Perché?
Perché sono curioso di vedere come si fa. Siccome nel libro viene preso questo limite per dare un'applicazione di DH, volevo sapere se si riesce a fare anche con i metodi tradizionali. Io non ci sono riuscito e quindi ho provato a chiedere un aiuto qua dentro.
Infatti, quel limite lì non può essere risolto sfruttando solo i limiti notevoli o tecniche elementari... Ti servono anche gli strumenti del Calcolo Differenziale. 
Ecco allora sarei curioso di sapere perché non può essere risolto tramite limiti notevoli o tecniche elementari
Ciao Pigreco2016,
Sì, è possibile, ipotizzando che il risultato del limite sia finito diverso da $0$ e pervenendo alla fine a concludere che è proprio così. Dai un'occhiata ad esempio a questo thread.
Sì, è possibile, ipotizzando che il risultato del limite sia finito diverso da $0$ e pervenendo alla fine a concludere che è proprio così. Dai un'occhiata ad esempio a questo thread.
pilloeffe sei un genio. Mi hai servito la risposta completa. Mai vista quella tecnica per risolvere un limite (e di limiti ne ho fatti tanti). Grazie infinite. Mi sembrava strano che ci fosse per forza bisogno di tecniche differenziali per risolvere tale limite.
La tecnica è carina, ma il problema è che si deve necessariamente supporre che il limite esista finito per fare il conto.
Tuttavia, che il limite esista finito non è affatto scontato.
Tuttavia, che il limite esista finito non è affatto scontato.
"Pigreco2016":
pilloeffe sei un genio.
Ti ringrazio, ma non esageriamo, anche perché la tecnica non l'ho inventata io: l'ho semplicemente adattata al caso specifico e mi ricordavo di averlo già dimostrato su questo forum qualche tempo fa.
"gugo82":
Mai vista quella tecnica per risolvere un limite
Qui ti rispondo parafrasando la citazione di un famoso film:
"Io ne ho viste cose che voi umani non potreste immaginarvi: transistor a membrana biologica di cui non esisteva neanche il modello matematico... E ho visto particelle subatomiche trovarsi nei punti più improbabili dello spazio. [...]"
(cit. da Rutger Hauer/Roy Batty in Blade Runner)
"Pigreco2016":
Grazie infinite.
Prego
"Pigreco2016":
Mi sembrava strano che ci fosse per forza bisogno di tecniche differenziali per risolvere tale limite.
Beh, se mi chiedi se è possibile farlo io ti rispondo di sì, ma se mi chiedessi se è opportuno, resta valida la prima semplice risposta che ti ha dato gugo82:
"gugo82":
Perché?
Con una a tua scelta delle altre due tecniche che hai citato (DH o sviluppi di Taylor) la soluzione del limite proposto è decisamente molto più rapida...
Pensandoci bene questa tecnica di risoluzione del limite mi sembra identica a quella degli integrali risolti per ricorrenza
Perché questa tecnica è essa stessa una ricorrenza. Pilloeffe suppone che il limite esista finito e mostra che esso deve risolvere una equazione. Siccome questa equazione ha una sola soluzione, tac, il limite deve essere uguale a tale soluzione. E' una tecnica generale della matematica.
Integro, senza alcuna nota polemica, il discorso fatto da dissonance...
La cui applicabilità è però subordinata ad un risultato di esistenza, in mancanza del quale essa può condurre a prendere delle cantonate pazzesche.
Ad esempio, supponiamo di voler calcolare il massimo di $NN\setminus \{0\}$.
Visto che per ogni naturale risulta $n^2>=n$, detto $M$ il massimo del nostro insieme, deve necessariamente essere $M^2=M$.[nota]Infatti, se così non fosse, si avrebbe $M^2>M=\max (NN\setminus \{0\})$; ma ciò è assurdo poiché $M$ non sarebbe più il massimo del nostro insieme (essendo minore del numero $M^2 in NN\setminus\{0\}$).[/nota]
Dato che $M=1$ è l'unico elemento di $NN\setminus\{0\}$ che soddisfa $M^2=M$, concludiamo che $1$ è il massimo di $NN\setminus\{0\}$... Ma c'è qualcosa di strano, no?
Dov'è l'inghippo?
"dissonance":
[...] E' una tecnica generale della matematica.
La cui applicabilità è però subordinata ad un risultato di esistenza, in mancanza del quale essa può condurre a prendere delle cantonate pazzesche.
Ad esempio, supponiamo di voler calcolare il massimo di $NN\setminus \{0\}$.
Visto che per ogni naturale risulta $n^2>=n$, detto $M$ il massimo del nostro insieme, deve necessariamente essere $M^2=M$.[nota]Infatti, se così non fosse, si avrebbe $M^2>M=\max (NN\setminus \{0\})$; ma ciò è assurdo poiché $M$ non sarebbe più il massimo del nostro insieme (essendo minore del numero $M^2 in NN\setminus\{0\}$).[/nota]
Dato che $M=1$ è l'unico elemento di $NN\setminus\{0\}$ che soddisfa $M^2=M$, concludiamo che $1$ è il massimo di $NN\setminus\{0\}$... Ma c'è qualcosa di strano, no?
Dov'è l'inghippo?
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