Calcolo limite
Il procedimento che ho applicato per il calcolo del seguente limite è corretto oppure presenta inesattezze ?
Non si legge bene ma il logaritmo è in base 5.
$ lim_(x -> 0) (sinx^2)^(1/log_5 x^2) $ = $ lim_(x -> 0)5^(log_5(sinx^2)^(1/log_5x^2) $ = $ 5^(log_5(sinx^2)/log_5x^2) $
per semplicità lavoro solo con l'esponente
$ lim_(x -> 0) log_5(sinx^2)/log_5x^2 = lim_(x -> 0)log_5(x^2+x^2omega (x^2))/log_5x^2 = lim_(x -> 0)log_5 (x^2(1+omega (x^2)))/log_5x^2 = $ $ lim_(x -> 0)(log_5(x^2) + log_5(1+omega (x^2)))/log_5x^2 = $ $ lim_(x -> 0)1+log_5(1+omega (x^2))/ log_5x^2 = 1 $
quindi il valore del limite dovrebbe essere 5
Non si legge bene ma il logaritmo è in base 5.
$ lim_(x -> 0) (sinx^2)^(1/log_5 x^2) $ = $ lim_(x -> 0)5^(log_5(sinx^2)^(1/log_5x^2) $ = $ 5^(log_5(sinx^2)/log_5x^2) $
per semplicità lavoro solo con l'esponente
$ lim_(x -> 0) log_5(sinx^2)/log_5x^2 = lim_(x -> 0)log_5(x^2+x^2omega (x^2))/log_5x^2 = lim_(x -> 0)log_5 (x^2(1+omega (x^2)))/log_5x^2 = $ $ lim_(x -> 0)(log_5(x^2) + log_5(1+omega (x^2)))/log_5x^2 = $ $ lim_(x -> 0)1+log_5(1+omega (x^2))/ log_5x^2 = 1 $
quindi il valore del limite dovrebbe essere 5
Risposte
lavori sull'esponente cosi:
$lim_{x->0} ({ln sin^2 x}/{ln 5})/({ln x^2}/{ln 5})$ con il cambiamento di base dei logaritmi, quindi:
$lim_{x->0} ln(sinx^2)/ln(x^2)$ applico l'hopital $= lim_{x->0} cot x /(1/x)=lim_{x->0} x*cotx= lim_{x->0} (x)/(1/cot x)$ ancora l'hopital $lim_{x->0} 1/ (sec^2 x) = lim_{x->0} cos^2 x =1 => lim_{x->0} 5^1=5$
$lim_{x->0} ({ln sin^2 x}/{ln 5})/({ln x^2}/{ln 5})$ con il cambiamento di base dei logaritmi, quindi:
$lim_{x->0} ln(sinx^2)/ln(x^2)$ applico l'hopital $= lim_{x->0} cot x /(1/x)=lim_{x->0} x*cotx= lim_{x->0} (x)/(1/cot x)$ ancora l'hopital $lim_{x->0} 1/ (sec^2 x) = lim_{x->0} cos^2 x =1 => lim_{x->0} 5^1=5$
Grazie, ho capito cosa hai fatto. Vorrei sapere se quello che ho fatto io è comunque corretto, a parte il risultato.