Calcolo limite

[zio_mangrovia]

$\lim_{x \to \+infty}x(2^(x/(x-3))-2)$

Questo limite si risolve solo con l'Hospital?

[francicko]

E' una forma indeterminata $inftyxx0$ quindi dobbiamo trasformarla in una forma $0/0$, se vogliamo applicare Hopital, $lim_(x->infty)(2^(x/(x-3))-2)$ $=lim2x(2^(x/(x-3)-1)-1)$ $=lim2x(2^(3/(x-3))-1)$ $=lim2(2^(3/x)-1)/(1/x)$, moltiplicando e dividendo per $3$ a denominatore ottengo $lim2(2^(3/x)-1)/(3/(3x))$ $=3xx2xxlim_(x->infty)(2^(3/x)-1)/(3/x)$, a questo punto ponendo si nota che la forma ottenuta e' equivalente a quella di un noto limite notevole, $lim_(f(x)->0)(a^f(x)-1)/f(x)=loga$, pertanto nel nostro caso risulta $=3xx2xxlog2$ $=log2^6$ $=log64$, che è il valore del limite, senza bisogno di applicare Hopital.

[zio_mangrovia]

"francio":$lim2x(2^(3/(x-3))-1)$ $=lim2(2^(3/x)-1)/(1/x)$
tutto chiaro escluso il passaggio dove esponente passa da $3/(x-3)$ a $3/x$

[francicko]

Posso scrivere $3/(x-3)=3/(x (1-3/x)) $, man mano che $x->infty $, la

quantità $3/x~~0$, cioè trascurabile quindi

$3/(x (1-3/x))~~3/x $.