Calcolo Limite

[DearUsers]

Ciao a tutti,
chiedo gentilmente aiuto per questo limite:
limite di x che tende a piu infinito
$sqrt(x)(sqrt(x+1)-sqrt(x-1))$ Probabile che si deve razionalizzare ma non so come.

[donald_zeka]

Moltiplica e dividi per $sqrt(x+1)+sqrt(x-1)$

[DearUsers]

razionalizzo e viene al numeratore 0/infinito e il limite tende a zero, ma il risultato non coincide con la soluzione del libro (che mi da 1). Dove sbaglio?

[donald_zeka]

Sei sicuro che il numeratore diventi zero?

[DearUsers]

Numeratore: $sqrt(x)(sqrt(x+1)-sqrt(x-1))(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))$ = $2sqrt(x)$
tutto diviso per quello che ho razionalizzato, ma non viene 1 o sbaglio?

[donald_zeka]

$sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrtxsqrt(1+1/x)+sqrtxsqrt(1-1/x)$, raccogliendo un $sqrtx$ e mandando $x$ all'infinito...

[francicko]

Non ti sbagli, il limite ha come valor$1$!
Avendo razionalizzato si ha:
$lim_(x->infty)sqrt(x)(x+1-x+1)/(sqrt(x+1)+sqrt (x-1))$ $=2×lim_(x->infty)sqrt(x)/(sqrt (x)(sqrt(1+1/x)+sqrt(1-1/x))) $ $=2×lim_(x->infty)sqrt(x)/((sqrt (x)(1+1))$ essendo che $1/x $ ed $-1/x $ tendono a $0$ cioe' sono quatità trascurabili,
$=lim_(x->infty)2×lim_(x->infty)sqrt (x)/(2sqrt (x)) $ $=lim_(x->infty)2/2×lim_(x->infty)sqrt(x)/sqrt(x)=1$