Calcolo Jacobiano funzione vettoriale

[Lawlietz]

Buona sera a tutti ,
desideravo chiedervi lumi circa un esercizio di analisi II (esercizio 1 presente a questo link
https://campus.unibo.it/239076/1/A2_III ... 160211.pdf) che a primo impatto mi è sembrato un esercizio "nella
norma",tuttavia non riesco a capire come usare il $\J_g (0,1)$ per ottenere informazioni su $\g$ e sulle sue derivate parziali.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie in anticipo

[Lawlietz]

Riformulo un po' meglio la domanda:
so che $\ g: RR^2 \to RR^3, g=(g1,g2,g3)$ e che

$\J_(g) (0,1)=(((del g1)/(delx) (0,1), (delg1)/(dely)(0,1)), ((delg2)/(delx)(0,1), (delg2)/(dely)(0,1)),((delg3)/(delx)(0,1), (delg3)/(dely)(0,1))) = ((e, pi),(pi,e),(pi^2,e^2))$ e quindi posso utilizzare queste uguaglianze. Tuttavia, quando vado a calcolare $\ J_(f) (0,0$ e compaiono termini legati a $\g$ ed alle sue derivate parziali, questi vanno valutati in $\(0,0)$.

[Lawlietz]

nessuno può darmi anche solo un suggerimento?
Grazie in anticipo.

[dissonance]

Ma che cosa devi fare? Meglio riportare qui il testo dell'esercizio, a nessuno piace mettersi ad aprire file esterni (che tra l'altro sono soggetti a "link rotting", vanno evitati ove possibile).

[Lawlietz]

Chiedo scusa, non credevo fosse un problema.
Ecco il testo: Calcolare la matrice Jacobiana della seguente funzione
$\f(x, y) = (g1(x^2 + cos(xy), 3y^2 − sin(x^2y)), g2(x, \phi(x, y)), g3(\phi(x, y) − 1, y + 1)))$ in $\(0,0)$ sapendo che
$\g=(g1,g2,g3) \in C^1(RR^2,RR^3), \phi(x,y) \in C^1 (RR^2, R), \phi (0,0)=1, \grad \phi (0,0)= (1,1)$ e che $\ J_(g) (0,0) = ((e,pi),(pi,e),(pi^2,e^2))$

[anonymous_0b37e9]

Così è anche meglio:

Inoltre, può convenire adottare le seguenti notazioni:

Posizione 1

$\{(t_(11)(x,y)=x^2+cosxy),(t_(12)(x,y)=3y^2-sinx^2y):} rarr \{(t_(11)(0,0)=1),(t_(12)(0,0)=0):}$

Posizione 2

$\{(t_(21)(x,y)=x),(t_(22)(x,y)=\phi(x,y)):} rarr \{(t_(21)(0,0)=0),(t_(22)(0,0)=\phi(0,0)=1):}$

Posizione 3

$\{(t_(31)(x,y)=\phi(x,y)-1),(t_(32)(x,y)=y+1):} rarr \{(t_(31)(0,0)=\phi(0,0)-1=0),(t_(32)(0,0)=1):}$

Funzione

$f : RR^2 rarr RR^3$

$f(x,y)=[g_1[t_(11)(x,y),t_(12)(x,y)],g_2[t_(21)(x,y),t_(22)(x,y)],g_3[t_(31)(x,y),t_(32)(x,y)]]$

Tuttavia, il testo dell'esercizio presenta una svista. Non:

$\{(t_(11)(x,y)=x^2+cosxy),(t_(12)(x,y)=3y^2-sinx^2y):} rarr \{(t_(11)(0,0)=1),(t_(12)(0,0)=0):}$

piuttosto:

$\{(t_(11)(x,y)=3y^2-sinx^2y),(t_(12)(x,y)=x^2+cosxy):} rarr \{(t_(11)(0,0)=0),(t_(12)(0,0)=1):}$

Solo così anche $g_1$ può essere valutata in $(0,1)$:

Passo 1

Argomenti della funzione $g_1$

$[((delt_(11))/(delx),(delt_(11))/(dely)),((delt_(12))/(delx),(delt_(12))/(dely))]=[(-2xycosx^2y,6y-x^2cosx^2y),(2x-ysinxy,-xsinxy)] rarr [((delt_(11))/(delx),(delt_(11))/(dely)),((delt_(12))/(delx),(delt_(12))/(dely))](0,0)=[(0,0),(0,0)]$

Argomenti della funzione $g_2$

$[((delt_(21))/(delx),(delt_(21))/(dely)),((delt_(22))/(delx),(delt_(22))/(dely))]=[(1,0),((del\phi)/(delx),(del\phi)/(dely))] rarr [((delt_(21))/(delx),(delt_(21))/(dely)),((delt_(22))/(delx),(delt_(22))/(dely))](0,0)=[(1,0),(1,1)]$

Argomenti della funzione $g_3$

$[((delt_(31))/(delx),(delt_(31))/(dely)),((delt_(32))/(delx),(delt_(32))/(dely))]=[((del\phi)/(delx),(del\phi)/(dely)),(0,1)] rarr [((delt_(21))/(delx),(delt_(21))/(dely)),((delt_(22))/(delx),(delt_(22))/(dely))](0,0)=[(1,1),(0,1)]$

Passo 2

$J[f(0,0)]=[([(e,\pi)][(0,0),(0,0)]),([(\pi,e)][(1,0),(1,1)]),([(\pi^2,e^2)][(1,1),(0,1)])]=[(0,0),(\pi+e,e),(\pi^2,\pi^2+e^2)]$

Ad ogni modo, il risultato finale non dipende dalla svista.

[Lawlietz]

Grazie infinite, tutto chiarissimo