Calcolo integrale triplo

[Anto0071]

Ciao a tutti, ho il seguente esercizio: "Detto $D$ l'insieme dei punti$(x,y,z)$ dello spazio che soddisfano $ x^2+y^2 <=1 $ e $ 0<=z<=4(x^2+y^2) $, calcola $ int int int_(D)(x^2+y^2)/(1+x^2+y^2) dx dy dz $"
Data la simmetria utilizzo le coordinate cilindriche e il dominio diventa $ K={(rho ,vartheta ,z)in mathbb(R)^3:0<=rho<=1,0<=vartheta<=2pi,0<=z<=4rho^2 } $ quindi l'integrale diventa $ int_(0)^(2pi) int_(0)^(1) int_(0)^(4rho^2)rho^2/(1+rho^2) dz drho dvartheta $ .
Ecco, vorrei sapere se l'ho impostato correttamente.

[Mephlip]

Ciao! L'insieme di integrazione $K$ è corretto, la funzione integranda dopo il cambio di variabili no: manca il modulo del determinante della matrice jacobiana associata al cambio di variabili.

[Anto0071]

Giusto, ho scordato $rho$ correggo o riscrivo?

[Mephlip]

Forse conviene lasciarlo così com'è, almeno chi leggerà in futuro potrà vedere il post originale e collegare meglio il nostro scambio di messaggi. Se vuoi, puoi scrivere lo svolgimento dell'integrale così vediamo insieme fino alla fine se è corretto!

[Anto0071]

"Mephlip":Forse conviene lasciarlo così com'è, almeno chi leggerà in futuro potrà vedere il post originale e collegare meglio il nostro scambio di messaggi. Se vuoi, puoi scrivere lo svolgimento dell'integrale così vediamo insieme fino alla fine se è corretto!

allora di seguito posto il mio svolgimento:
$ int_(0)^(1) int_(0)^(2pi) int_(0)^(4rho^2)rho^2/(1+rho^2) rho*dz dvartheta drho $
integro rispetto a $z$ e ottengo:
$ =[(rho^3*z)/(1+rho^2)]_(0)^(4rho^2) $ $ =int_(0)^(1) int_(0)^(2pi) (4rho^5)/(1+rho^2)dvartheta drho $
ora integro rispetto a $vartheta$ e ottengo:
$ [(4rho^5vartheta)/(1+rho^2)]_(0)^(2pi)=(8pi*(4rho^5)/(1+rho^2)) $
$ =int_(0)^(1) 8pi*(4rho^5)/(1+rho^2) drho $
$ =8pi*int_(0)^(1) (4rho^5)/(1+rho^2) drho $
$ =8pi*int_(0)^(1) rho^3-rho+rho/(1+rho^2) drho $
$ =8pi*[int_(0)^(1) rho^3 drho+int_(0)^(1) -rho drho+int_(0)^(1)rho/(1+rho^2) drho] $
$ =8pi*[int_(0)^(1) rho^3 drho-int_(0)^(1) rho drho+int_(0)^(1)rho/(1+rho^2) drho] $
$ =8pi*[1/4]-[1/2] +[1/2ln(2)] $
$ =2pi-4pi+4piln(2) $
$ =-2pi+4piln(2) $
$ =2pi(-1+2piln(2)) $
ecco fatto, l'ho calcolato correttamente?

[pilloeffe]

Ciao Anto007,

"Anto007":ecco fatto, l'ho calcolato correttamente?

Direi di no, a me risulta semplicemente

$ \int_0^1 \int_0^{2\pi} \int_0^{4\rho^2}\rho^2/(1+\rho^2) \text{d}z \text{d}\vartheta \rho \text{d}\rho = ... = 2\pi (ln4 - 1) $

[Anto0071]

"pilloeffe":Ciao Anto007,
[quote="Anto007"]ecco fatto, l'ho calcolato correttamente?

Direi di no, a me risulta semplicemente

$ \int_0^1 \int_0^{2\pi} \int_0^{4\rho^2}\rho^2/(1+\rho^2) \text{d}z \text{d}\vartheta \rho \text{d}\rho = ... = 2\pi (ln4 - 1) $[/quote]
ok, mi potresti indicare dove ho sbagliato? Forse ho capito... ricontrollo tutto

[Anto0071]

"pilloeffe":Ciao Anto007,


$ \int_0^1 \int_0^{2\pi} \int_0^{4\rho^2}\rho^2/(1+\rho^2) \text{d}z \text{d}\vartheta \rho \text{d}\rho = ... = 2\pi (ln4 - 1) $

scusa ma non riesco ad individuare il mio errore, mi aiuteresti per favore?

[Anto0071]

scusa ma $2pi(ln(4)-1)$ non è uguale a $2pi(2ln(2)-1)$??

[Anto0071]

"Anto007":[quote="Mephlip"]Forse conviene lasciarlo così com'è, almeno chi leggerà in futuro potrà vedere il post originale e collegare meglio il nostro scambio di messaggi. Se vuoi, puoi scrivere lo svolgimento dell'integrale così vediamo insieme fino alla fine se è corretto!

allora di seguito posto il mio svolgimento:
$ int_(0)^(1) int_(0)^(2pi) int_(0)^(4rho^2)rho^2/(1+rho^2) rho*dz dvartheta drho $
integro rispetto a $z$ e ottengo:
$ =[(rho^3*z)/(1+rho^2)]_(0)^(4rho^2) $ $ =int_(0)^(1) int_(0)^(2pi) (4rho^5)/(1+rho^2)dvartheta drho $
ora integro rispetto a $vartheta$ e ottengo:
$ [(4rho^5vartheta)/(1+rho^2)]_(0)^(2pi)=(8pi*(4rho^5)/(1+rho^2)) $
$ =int_(0)^(1) 8pi*(4rho^5)/(1+rho^2) drho $
$ =8pi*int_(0)^(1) (4rho^5)/(1+rho^2) drho $
$ =8pi*int_(0)^(1) rho^3-rho+rho/(1+rho^2) drho $
$ =8pi*[int_(0)^(1) rho^3 drho+int_(0)^(1) -rho drho+int_(0)^(1)rho/(1+rho^2) drho] $
$ =8pi*[int_(0)^(1) rho^3 drho-int_(0)^(1) rho drho+int_(0)^(1)rho/(1+rho^2) drho] $
$ =8pi*[1/4]-[1/2] +[1/2ln(2)] $
$ =2pi-4pi+4piln(2) $
$ =-2pi+4piln(2) $
$ =2pi(-1+2piln(2)) $
ecco fatto, l'ho calcolato correttamente?[/quote]
nell'ultimo passaggio ho sbagliato il raccoglimento, sarebbe $2pi(-1+2ln(2))$

[pilloeffe]

"Anto007":mi aiuteresti per favore?

Certamente:

$ \int_0^1 \int_0^{2\pi} \int_0^{4\rho^2}\rho^2/(1+\rho^2) \text{d}z \text{d}\vartheta \rho \text{d}\rho = \int_0^{2\pi} \text{d}\vartheta \int_0^1 (\int_0^{4\rho^2} \text{d}z) \rho^3/(1+\rho^2) \text{d}\rho = 2\pi \int_0^1 [z]_0^{4\rho^2} \rho^3/(1+\rho^2) \text{d}\rho = $
$ = 8 \pi \int_0^1 \rho^5/(1+\rho^2) \text{d}\rho = 8\pi cdot 1/4 [(\rho^2 - 1)^2 + 2 ln(1 + \rho^2)]_0^1 = 2\pi [2 ln2 - 1] = 2\pi (ln4 - 1) $

[Anto0071]

Si c'ero arrivata, ho commesso un errore banalissimo!! Grazie della disponibilà, gentilissimo come sempre

@pilloeffe

. Avrei bisogno di un'ulteriore delucidazione, sempre relativa all'esercizio postato.
Bene, il mio prof ha fornito 4 possibili soluzioni all'integrale proposto, ma la mia soluzione non è in elenco. Ecco le soluzioni:
1. $pi/(ln(2-1)$
2. $pi(2ln(2)-1) $
3. $pi^2-(2/3)pi$
4. $2piln(2) $

[Anto0071]

Ho provato a valutare singolarmente le soluzioni, per scegliere quella piu vicina alla mia $2pi(2ln(2)-1) ~~ 2,43$ , ma non ho avuto successo. La 1. vale $ ~~ -10,24$, la 2. $ ~~ 1,21$ la 3. $ ~~ 5,16$ e la 4. $ ~~ 4,35$. La soluzione più simile sarebbe la 2. ma differisce di 1$pi$, possibile ci sia un errore?

[pilloeffe]

"Anto007":possibile ci sia un errore?

Possibilissimo, per me la soluzione corretta è proprio la 2 che hai indicato, solo che si sono dimenticati un $2$ davanti al $\pi $ ...

[Anto0071]

Perfetto, grazie mille