Calcolo integrale triplo
Ho questo integrale triplo
$int_0^(2pi)int_0^(pi)int_0^(prop)sinthetar^2/r^3(rsinthetacosphi+rsinthetasinphi+rcostheta)d theta dphi dr$
Se integro la parte $dr$ mi da infinito. Se integro la parte angolare mi da $0$. Dovrei concludere che è indeterminato?
Mi è stato detto che questo integrale dovrebbe essere convergente ma non assolutamente convergente: è vero? E come potrei verificarlo se lo fosse?
Spero possiate aiutarmi, grazie
$int_0^(2pi)int_0^(pi)int_0^(prop)sinthetar^2/r^3(rsinthetacosphi+rsinthetasinphi+rcostheta)d theta dphi dr$
Se integro la parte $dr$ mi da infinito. Se integro la parte angolare mi da $0$. Dovrei concludere che è indeterminato?
Mi è stato detto che questo integrale dovrebbe essere convergente ma non assolutamente convergente: è vero? E come potrei verificarlo se lo fosse?
Spero possiate aiutarmi, grazie
Risposte
Nessuno riesce a darmi almeno qualche opinione? Anche qualcosa del tipo "non ha senso" o "di solito si fa così" , "io credo che". Mi sarebbe utile
Ciao Spremiagrumi. Non si capisce $theta$ e $phi$ su quale intervallo agiscono: quale delle due varia tra $0$ e $2pi$?
In più l'integranda è semplificabile in
\[{\sin \theta \left( {\sin \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi + \cos \theta } \right)}\]
In più l'integranda è semplificabile in
\[{\sin \theta \left( {\sin \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi + \cos \theta } \right)}\]
Dovrebbe essere questo qui in coordinate polari?
$ int int int_(R^3) (x+y+z)/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) dx dy dz $
Vado un pò a caso, e lo riscrivi così:
$ -int int int_(R^3) {[(partial (1/r))/(partial x) dx dy dz]+[(partial (1/r))/(partial y) dx dy dz]+[(partial (1/r))/(partial z) dx dy dz]} $
Poi non ho idea di come andare avanti però. Provo ad andare avanti comunque e a procedere a casaccio:
A questo punto abbiamo tre integrali di questo tipo: $ -int int int_(R^3) {[(partial (1/r))/(partial x) dx dy dz] $ e sul dominio la fuzione è illimitata in $ 0 $ e regolare altrove. Per cui provo a togliere il parallelepipedo $ P(epsilon_1,epsilon_2,omega_1,omega_2,tau_1,tau_2) $ che contiene l'origine e la funzione risulta integrabile in $ R^3\\P $
$ -int_((-infty,-tau_1]uu [tau_2,+infty))dz int_((-infty,-omega_1]uu [omega_2,+infty)) dyint_((-infty,-epsilon_1]uu [epsilon_2,+infty)) [(partial (1/r))/(partial x) dx] $
$ -int_((-infty,-tau_1]uu [tau_2,+infty))dz int_((-infty,-omega_1]uu [omega_2,+infty)) dy [1/r]_((-infty,-epsilon_1]uu [epsilon_2,+infty)) $
$ -int_((-infty,-tau_1]uu [tau_2,+infty))dz int_((-infty,-omega_1]uu [omega_2,+infty)) dy (-1/sqrt(epsilon_2^2+y^2)+1/sqrt(epsilon_1^2+y^2)) $
A questo punto però il valore dipende dal tipo di insiemi che prendo, quindi la convergenza assoluta non potrei averla se non sbaglio. E sul testo che uso non vengono trattati questi integrali.
$ int int int_(R^3) (x+y+z)/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) dx dy dz $
Vado un pò a caso, e lo riscrivi così:
$ -int int int_(R^3) {[(partial (1/r))/(partial x) dx dy dz]+[(partial (1/r))/(partial y) dx dy dz]+[(partial (1/r))/(partial z) dx dy dz]} $
Poi non ho idea di come andare avanti però. Provo ad andare avanti comunque e a procedere a casaccio:
A questo punto abbiamo tre integrali di questo tipo: $ -int int int_(R^3) {[(partial (1/r))/(partial x) dx dy dz] $ e sul dominio la fuzione è illimitata in $ 0 $ e regolare altrove. Per cui provo a togliere il parallelepipedo $ P(epsilon_1,epsilon_2,omega_1,omega_2,tau_1,tau_2) $ che contiene l'origine e la funzione risulta integrabile in $ R^3\\P $
$ -int_((-infty,-tau_1]uu [tau_2,+infty))dz int_((-infty,-omega_1]uu [omega_2,+infty)) dyint_((-infty,-epsilon_1]uu [epsilon_2,+infty)) [(partial (1/r))/(partial x) dx] $
$ -int_((-infty,-tau_1]uu [tau_2,+infty))dz int_((-infty,-omega_1]uu [omega_2,+infty)) dy [1/r]_((-infty,-epsilon_1]uu [epsilon_2,+infty)) $
$ -int_((-infty,-tau_1]uu [tau_2,+infty))dz int_((-infty,-omega_1]uu [omega_2,+infty)) dy (-1/sqrt(epsilon_2^2+y^2)+1/sqrt(epsilon_1^2+y^2)) $
A questo punto però il valore dipende dal tipo di insiemi che prendo, quindi la convergenza assoluta non potrei averla se non sbaglio. E sul testo che uso non vengono trattati questi integrali.
"Brancaleone":
Ciao Spremiagrumi. Non si capisce $theta$ e $phi$ su quale intervallo agiscono: quale delle due varia tra $0$ e $2pi$?
In più l'integranda è semplificabile in
\[{\sin \theta \left( {\sin \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi + \cos \theta } \right)}\]
Si, naturalmente capisco che è semplificabile, ho lasciato apposta la forma originale per capire che si trattava di un passaggio a coordinate sferiche. $theta$ varia fino a $pi$. $phi$ fino a $2pi$
"luc.mm":
Dovrebbe essere questo qui in coordinate polari?
$ int int int_(R^3) (x+y+z)/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) dx dy dz $
si esatto
Dopo aver letto qualcosa sul caso ad una variabile, in pratica secondo Riemann devi sempre spezzare un integrale generalizzato e far tendere all'infinito entrambi gli estremi, ovvero secondo Rieman non posso concludere che:
$ int_(-infty)^(+infty) x dx =0 $ anche se molto intuitivamente uno penserebbe che le aree si elidano essendo una funzione dispari. Per quanto ne sappia dell'integrale di Lebesgue generalizzato esso non è definito per funzioni integrabili in senso generalizzato ma non assolutamente integrabili in senso generalizzato. Credo che per adesso io possa arrivare fin qui, salvo errori catastrofici nel metodo che mi abbiano portato fuori strada.
$ int_(-infty)^(+infty) x dx =0 $ anche se molto intuitivamente uno penserebbe che le aree si elidano essendo una funzione dispari. Per quanto ne sappia dell'integrale di Lebesgue generalizzato esso non è definito per funzioni integrabili in senso generalizzato ma non assolutamente integrabili in senso generalizzato. Credo che per adesso io possa arrivare fin qui, salvo errori catastrofici nel metodo che mi abbiano portato fuori strada.
A questo punto però il valore dipende dal tipo di insiemi che prendo, quindi la convergenza assoluta non potrei averla se non sbaglio.
Cosa intendi con dipende dal tipo di insiemi?
Se scegliessi $ epsilon_1=epsilon_2 $ nel mio parallelepipedo allora quell'integrale sarebbe nullo. Per esempio $ int_(-1)^(-epsilon) 1/x dx +int_(epsilon)^(1) 1/x dx =log(epsilon)-log(1)+log(1)-log(epsilon)=log(epsilon/epsilon)=0 $
Mentre $ log(epsilon/(epsilon^2))=log(1/epsilon) rarr +infty, epsilon rarr 0^+ $
Il valore di questi integrali per intervalli simmetrici si chiama valore principale, però appunto come puoi vedere non è ben definito l'integrale se cambi il tipo di insiemi.
Mentre $ log(epsilon/(epsilon^2))=log(1/epsilon) rarr +infty, epsilon rarr 0^+ $
Il valore di questi integrali per intervalli simmetrici si chiama valore principale, però appunto come puoi vedere non è ben definito l'integrale se cambi il tipo di insiemi.
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