Calcolo integrale tramite lemma del cerchio grande

[claudio_p88]

Devo calcolare quest'integrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{x^2+4}dx\), allora considero la funzione \(\displaystyle f(z) = \frac{z^2}{z^2+4}\) e uso il lemma del grande cerchio in quanto la condizione \(\displaystyle lim_{|z|\to\infty} zf(z)=0 \) è soddisfatta, quindi avrò che \(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{x^2+4}dx=lim_{r\to\infty}\int_{\gamma_r}\frac{z^2}{z^2+4}dz=2\pi i res(\frac{z^2}{z^2+4},2i)\), per calcolare il residuo uso la formula \(\displaystyle {R}{e}{s}{\left({f{;}}{z}_{{0}}\right)}=\frac{{1}}{{{\left({k}-{1}\right)}!}}\cdot\lim_{{{z}\to{z}_{{0}}}}\frac{{{\text{d}}^{{{k}-{1}}}}}{{\text{d}{{z}}^{{{k}-{1}}}}}{\left[{{\left({z}-{z}_{{0}}\right)}}^{{k}}\cdot{f{{\left({z}\right)}}}\right]} \), ho quindi che \(\displaystyle res(\frac{z^2}{(z^2+4)^2},2i) = lim_{z\to 2i}\frac{-2z(z^2-4)}{(z^2+4)^3}[(z-2i)^2\frac{z^2}{(z^2+4)^2}] \), solo che svolgendo i calcoli la soluzione mi risulta diversa da quella del libro, sarei grato se qualche buon' anima, mi svolgesse i calcoli con relativi passaggi e semplificazioni grazie

[Sk_Anonymous]

$Res[z^2/(z^2+4),2i]=lim_(z->2i)(z-2i)z^2/(z^2+4)=lim_(z->2i)(z-2i)z^2/((z+2i)(z-2i))=lim_(z->2i)z^2/(z+2i)=i$

In ogni modo, non mi pare che quell'integrale converga.

[claudio_p88]

perchè non consideri la derivata nei calcoli cioè \(\displaystyle \frac{-2z(z^2-4)}{(z^2+4)^3} \), e perchè dici che l'integrale non ti sembra convergere? grazie

[Sk_Anonymous]

"claudio_p88":
Perchè non consideri la derivata...

Perchè si tratta di un polo del primo ordine.

"claudio_p88":
...perchè dici che l'integrale non ti sembra convergere?

Perchè la funzione è pari e hai un asintoto orizzontale di equazione $[y=1]$. Se fosse stata dispari, magari si poteva dire che l'integrale era nullo, nel senso del valore principale.

[claudio_p88]

non riesco a capire la soluzione è di un esercizio d'esame postata da una professoressa universitaria e il risultato dell'integrale è \(\displaystyle \frac{-i}{8} \) inoltre la derivata viene considerata come se fosse un polo di ordine due, lo ricavo per definizione \(\displaystyle f_1(z) = z^2+4 \) allora \(\displaystyle f'_1(z)= 2z|_{z = 2i} \ne 0 \), correggimi se sbaglio, quindi è un polo di primo ordine.

[Sk_Anonymous]

Quando consideri le funzioni razionali fratte, l'ordine del polo è uguale all'ordine della radice del denominatore, sempre che il numeratore non si annulli, come in questo caso. Tra l'altro, in questo esercizio non puoi nemmeno applicare il lemma del grande cerchio. Propendo per un errore di trascrizione, probabilmente avevi un quadrato al denominatore. In questo modo il polo sarebbe di ordine due e potresti applicare il lemma del grande cerchio. In ogni modo, l'integrale deve essere un numero reale, non ho capito che cosa rappresenti $[-i/8]$.

[claudio_p88]

sì, scusa avevo un quadrato a denominatore errore mio di trascrizione... mi potresti far vedere, in questo caso come procedi con i calcoli grazie mille

[Sk_Anonymous]

Allora:

$Res[z^2/(z^2+4)^2,2i]=lim_(z->2i)d/(dz)[(z-2i)^2z^2/(z^2+4)^2]=lim_(z->2i)d/(dz)[(z-2i)^2z^2/((z+2i)^2(z-2i)^2)]=$

$=lim_(z->2i)d/(dz)[z^2/(z+2i)^2]=lim_(z->2i)(4iz)/(z+2i)^3=-i/8$

Finalmente si comprende che cosa tu intendessi con $[-i/8]$, il residuo, non l'integrale. Infine, moltiplicando per $[2pii]$, il valore dell'integrale risulta essere $[pi/4]$, numero reale positivo essendo la funzione reale e sempre positiva.

[claudio_p88]

sì, comunque intendevo il residuo grazie mille per la spiegazione e scusa se mi sono spiegato male,l'unica cosa che non capisco è \(\displaystyle \frac {d}{dz} = \frac{-2z(z^2-4)}{(z^2+4)^3}\), ora da qui come fai a semplificare e a farti venire \(\displaystyle \frac{4zi}{(z+2i)^3} \)?

[Sk_Anonymous]

Credo che tu stia sbagliando la funzione da derivare. Non devi derivare la funzione di partenza, bensì la funzione di partenza moltiplicata per $(z-2i)^2$. Prima di farlo, ti conviene semplificare come ho fatto nel messaggio precedente. Sei sicuro di averlo guardato con la sufficiente attenzione?

[claudio_p88]

ok grazie mille ci sono arrivato.