Calcolo integrale teorema dei residui

[Rebb10]

Ciao, ho dei dubbi su questo integrale... ho provato a risolverlo per parti ma con scarsi risultati, il testo è:
$\int_{00}^{oo} 1/root(5)(x) 1/(3+x) dx$.
Il mio problema sta nello sviluppare per parti, dopodiché credo che il polo della funzione sia $z=-3$.

[gugo82]

L’integrale si calcola “a mano” con la sostituzione $x = t^5$.
Se ti interessa comunque una soluzione con tecniche di Analisi Complessa, sposto altrove.

[pilloeffe]

Ciao Rebb10,

Se, come credo, l'estremo d'integrazione inferiore è $0 $, cioè l'integrale proposto in realtà è

$\int_{0}^{+\infty} 1/root(5)(x) 1/(3+x) \text{d}x $

si può esprimere la soluzione dell'integrale in termini di funzione gamma ponendo $ x := 3t \implies \text{d}x = 3\text{d}t $:

$\int_{0}^{+\infty} 1/root(5)(x) 1/(3+x) \text{d}x = 1/(root(5)(3))\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{-1/5}}{1 + t} \text{d}t = 1/(root(5)(3))\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{4/5 -1}}{1 + t} \text{d}t = \frac{\Gamma(1/5)\Gamma(4/5)}{root(5)(3)} ~~ 4,2905 $

Infatti più in generale si può dimostrare che se $0 < p < 1 $ (nel caso in esame $p = 4/5 $) si ha:

$\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{p - 1}}{1 + x} \text{d}x = B(p, 1 - p) = \Gamma(p)\Gamma(1 - p) $

Per dimostrarlo basta porre $y := \frac{x}{1 + x} \implies x = \frac{y}{1 - y} $