Calcolo integrale sconosciuto
Ragazzi vi chiedo una mano per calcolare questo integrale che avevo all'ultimo esame e che non son riuscito a calcolare(non ne avevo mai visti cosi.....di solito mi capitavano come rapporto di num/den)
ve lo scrivo meglio che posso,spero che capiate:
integrale con |z|=1 di: (1-2z^2)sen(pi/z)dz
mi piacerebbe saper come si svolge e anche di che tipo di integrale si tratta?possibile che si svolga con bessel?
GRAZIE
ve lo scrivo meglio che posso,spero che capiate:
integrale con |z|=1 di: (1-2z^2)sen(pi/z)dz
mi piacerebbe saper come si svolge e anche di che tipo di integrale si tratta?possibile che si svolga con bessel?
GRAZIE
Risposte
"studentean":
Ragazzi vi chiedo una mano per calcolare questo integrale che avevo all'ultimo esame e che non son riuscito a calcolare(non ne avevo mai visti cosi.....di solito mi capitavano come rapporto di num/den)
ve lo scrivo meglio che posso,spero che capiate:
integrale con |z|=1 di: (1-2z^2)sen(pi/z)dz
mi piacerebbe saper come si svolge e anche di che tipo di integrale si tratta?possibile che si svolga con bessel?
GRAZIE
Integrale standard da risolvere col metodo dei residui.
L'unico punto a "darti fastidio", se non erro, è lo $0$ che è una singolarità essenziale isolata della funzione integranda: calcoli il residuo in $0$, lo moltiplichi per $2pi i$ ed hai risolto.
trovo difficolta' nel calcolo del residuo in 0
come devo trattare il seno?se faccio tendere z a zero mi viene sen(pi/0) e come si fa???
come devo trattare il seno?se faccio tendere z a zero mi viene sen(pi/0) e come si fa???
Sviluppa $sin zeta$ in serie di Taylor con centro in $0$ e sostituisci $zeta=pi/z$ nello sviluppo: in questo modo riesci a determinare lo sviluppo di Laurent della funzione $sin (pi/z)$ intorno a $0$.
Il residuo di $sin (pi/z)$ è il coefficiente della potenza $1/z$ nello sviluppo di Laurent che hai determinato (per definizione di residuo!).
Il residuo di $sin (pi/z)$ è il coefficiente della potenza $1/z$ nello sviluppo di Laurent che hai determinato (per definizione di residuo!).
mi scriveresti i passaggi passo passo?scusa la mia ignoranza....se hai un indirizzo msn mandamelo in pvt cosi' ne discutiamo su msn,grazie
In effetti avevo perso di vista il problema originario, quindi il mio post precedente non era del tutto esatto.
Per farmi perdonare ti descrivo il procedimento.
Hai $f(z)=(1-2z^2)*sin(pi/z)$.
L'unico punto singolare che cade nel dominio limitato avente per frontiere la circonferenza d'eq. $|z|=1$ è lo $0$ che, come già detto, è un punto singolare essenziale isolato per $f$: per noti fatti della teoria dei residui risulta:
$\int_(|z|=1)f(z)" d"z=2pi i*Res(f;0)$.
Per calcolare il residuo in $0$ di $f$ bisogna sviluppare $f$ in serie di Laurent e determinare il coefficiente $a_(-1)$ della potenza $1/z$.
Notiamo che il fattore polinomiale nell'espressione di $f$ è già messo in una forma adatta ai nostri scopi, quindi basta trovare la serie di Laurent della funzione $sin (pi/z)$.
Tenendo presente la relazione $sin zeta=\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/((2n+1)!)*zeta^(2n+1)$ valida per $zeta in CC$, facendo la sostituzione $zeta=pi/z$ troviamo lo sviluppo in serie di Laurent:
(*) $quad sin (pi/z)=\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/((2n+1)!)*(pi/z)^(2n+1)=\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*1/z^(2n+1)$
con convergenza uniforme al di fuori di ogni cerchio contenente lo $0$.
La serie di Laurent avente come somma $f$ si ottiene semplicemente eseguendo la moltiplicazione termine a termine della serie all'ultimo membro di (*) e del polinomio $1-2z^2$:
$f(z)=(1-2z^2)*\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*1/z^(2n+1)=\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*1/z^(2n+1)-\sum_(n=0)^(+oo)(2*(-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*1/z^(2n-1)$
visto che il termine per $n=0$ della serie che figura come secondo addendo all'ultimo membro è $-2pi*z$, possiamo trarlo fuori dal simbolo sommatorio e, cambiando l'indice di sommazione, scrivere:
$f(z)=-2pi*z+\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*1/z^(2n+1)-\sum_(n=1)^(+oo)(2*(-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*1/z^(2n-1)=-2pi*z+\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*1/z^(2n+1)-\sum_(n=0)^(+oo)(2*(-1)^(n+1)*pi^(2n+3))/((2n+3)!)*1/z^(2n+1) quad$;
svolgendo la somma tra serie troviamo:
$\sum_(n=0)^(+oo)[((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)-(2*(-1)^(n+1)*pi^(2n+3))/((2n+3)!)]*1/z^(2n+1)=\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*[1-(2*(-1)^1*pi^2)/(2n+3)]*1/z^(2n+1)=
$quad quad quad quad quad =\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*[1-(2*(-1)^1*pi^2)/(2n+3)]*1/z^(2n+1)=
$quad quad quad quad quad =\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1)*(2n+3+2*pi^2))/((2n+3)!)*1/z^(2n+1)$
per cui lo sviluppo in serie di Laurent di $f$ intorno a $0$ è:
(**) $quad f(z)=-2pi*z+\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1)*(2n+3+2*pi^2))/((2n+3)!)*1/z^(2n+1)$.
Il termine contente la potenza $1/z$ si ottiene dalla serie che figura come secondo addendo in (**) ponendovi $n=0$ ed è $(pi*(3+2pi^2))/(3!)*1/z$, onde si ha $Res(f;0)=(pi*(3+2pi^2))/6$ e quindi:
$\int_(|z|=1)f(z)" d"z=pi^2*(3+2pi^2)/3*i$.
Ovviamente potrei aver commesso qualche errore di calcolo, quindi devi controllarti tutti i passaggi.
Buono studio.
Per farmi perdonare ti descrivo il procedimento.
Hai $f(z)=(1-2z^2)*sin(pi/z)$.
L'unico punto singolare che cade nel dominio limitato avente per frontiere la circonferenza d'eq. $|z|=1$ è lo $0$ che, come già detto, è un punto singolare essenziale isolato per $f$: per noti fatti della teoria dei residui risulta:
$\int_(|z|=1)f(z)" d"z=2pi i*Res(f;0)$.
Per calcolare il residuo in $0$ di $f$ bisogna sviluppare $f$ in serie di Laurent e determinare il coefficiente $a_(-1)$ della potenza $1/z$.
Notiamo che il fattore polinomiale nell'espressione di $f$ è già messo in una forma adatta ai nostri scopi, quindi basta trovare la serie di Laurent della funzione $sin (pi/z)$.
Tenendo presente la relazione $sin zeta=\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/((2n+1)!)*zeta^(2n+1)$ valida per $zeta in CC$, facendo la sostituzione $zeta=pi/z$ troviamo lo sviluppo in serie di Laurent:
(*) $quad sin (pi/z)=\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/((2n+1)!)*(pi/z)^(2n+1)=\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*1/z^(2n+1)$
con convergenza uniforme al di fuori di ogni cerchio contenente lo $0$.
La serie di Laurent avente come somma $f$ si ottiene semplicemente eseguendo la moltiplicazione termine a termine della serie all'ultimo membro di (*) e del polinomio $1-2z^2$:
$f(z)=(1-2z^2)*\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*1/z^(2n+1)=\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*1/z^(2n+1)-\sum_(n=0)^(+oo)(2*(-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*1/z^(2n-1)$
visto che il termine per $n=0$ della serie che figura come secondo addendo all'ultimo membro è $-2pi*z$, possiamo trarlo fuori dal simbolo sommatorio e, cambiando l'indice di sommazione, scrivere:
$f(z)=-2pi*z+\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*1/z^(2n+1)-\sum_(n=1)^(+oo)(2*(-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*1/z^(2n-1)=-2pi*z+\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*1/z^(2n+1)-\sum_(n=0)^(+oo)(2*(-1)^(n+1)*pi^(2n+3))/((2n+3)!)*1/z^(2n+1) quad$;
svolgendo la somma tra serie troviamo:
$\sum_(n=0)^(+oo)[((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)-(2*(-1)^(n+1)*pi^(2n+3))/((2n+3)!)]*1/z^(2n+1)=\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*[1-(2*(-1)^1*pi^2)/(2n+3)]*1/z^(2n+1)=
$quad quad quad quad quad =\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1))/((2n+1)!)*[1-(2*(-1)^1*pi^2)/(2n+3)]*1/z^(2n+1)=
$quad quad quad quad quad =\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1)*(2n+3+2*pi^2))/((2n+3)!)*1/z^(2n+1)$
per cui lo sviluppo in serie di Laurent di $f$ intorno a $0$ è:
(**) $quad f(z)=-2pi*z+\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n+1)*(2n+3+2*pi^2))/((2n+3)!)*1/z^(2n+1)$.
Il termine contente la potenza $1/z$ si ottiene dalla serie che figura come secondo addendo in (**) ponendovi $n=0$ ed è $(pi*(3+2pi^2))/(3!)*1/z$, onde si ha $Res(f;0)=(pi*(3+2pi^2))/6$ e quindi:
$\int_(|z|=1)f(z)" d"z=pi^2*(3+2pi^2)/3*i$.
Ovviamente potrei aver commesso qualche errore di calcolo, quindi devi controllarti tutti i passaggi.
Buono studio.
grazie mille per la spiagazione,ora vorrei sapere se c'e' un modo operandi comune per tutti questi tipi di integrali.....ad esempio :
integrale(|z-2|=3) di: e^z/(z sen z)
anche in questo caso devo sviluppare la funzione in serie di laurent? ho 2 poli in z=0 e z=kpigreco
saresti cosi' gentile da farmi i passaggi anche di questa cosi' cerco di trovare un modo per risolvere questi benedetti integrali?
GRAZIE UN 10^3 IN ANTICIPO!!!
integrale(|z-2|=3) di: e^z/(z sen z)
anche in questo caso devo sviluppare la funzione in serie di laurent? ho 2 poli in z=0 e z=kpigreco
saresti cosi' gentile da farmi i passaggi anche di questa cosi' cerco di trovare un modo per risolvere questi benedetti integrali?
GRAZIE UN 10^3 IN ANTICIPO!!!
La determinazione della serie di Laurent si fa di solito nei casi difficili, ossia quando trovi singolarità essenziali.
Nel caso di un polo d'ordine $kge 1$ basta ricordare la formula:
$Res(f;z_0)=1/((k-1)!)*lim_(zto z_0) ("d"^(k-1))/("d"z^(k-1))[(z-z_0)^k*f(z)]$
anche se la determinazione dello sviluppo di Laurent può alcune volte rivelarsi più semplice del calcolo del limite precedente anche nel caso di singolarità polari (ad esempio se il polo è d'ordine elevato e ti scoccia eseguire tutte quelle derivate!).
Sono tutte nozioni elementari di Teoria dei Residui che trovi su un qualunque testo di Analisi Complessa o Metodi Matematici per l'ingegenria.
Nel caso di un polo d'ordine $kge 1$ basta ricordare la formula:
$Res(f;z_0)=1/((k-1)!)*lim_(zto z_0) ("d"^(k-1))/("d"z^(k-1))[(z-z_0)^k*f(z)]$
anche se la determinazione dello sviluppo di Laurent può alcune volte rivelarsi più semplice del calcolo del limite precedente anche nel caso di singolarità polari (ad esempio se il polo è d'ordine elevato e ti scoccia eseguire tutte quelle derivate!
).Sono tutte nozioni elementari di Teoria dei Residui che trovi su un qualunque testo di Analisi Complessa o Metodi Matematici per l'ingegenria.
scusa gugo ma devo capire meglio,ho bisogno di un paio di esercizi svolti per capire i passaggi e i ragionamenti da fare......
ad esempio :
integrale(con |z|=2)di: cos(pig/z) / z(z^2-1) dz
saresti cosi' gentile da svolgermelo?,in questo caso ho 3 singolarita' 0 i e -i giusto? come devo procedere per calcolarne il residuo?devo sempre sviluppare il coseno come serie di laurent?
HELP!!!
ad esempio :
integrale(con |z|=2)di: cos(pig/z) / z(z^2-1) dz
saresti cosi' gentile da svolgermelo?,in questo caso ho 3 singolarita' 0 i e -i giusto? come devo procedere per calcolarne il residuo?devo sempre sviluppare il coseno come serie di laurent?
HELP!!!
Prima regola: i libri di testo non sono carnivori... quando li aprite non vi mangiano!
Questo te lo spiego, perchè è interessante: infatti la funzione integranda presenta entrambi i tipi di singolarità.
Siamo d'accordo che per calcolare l'integrale che proponi hai bisogno di sapere quante e quali singolarità l'integrando presenta nel dominio delimitato dalla cammino d'integrazione, ossia nella circonferenza del piano di raggio $2$: pertanto andiamo ad analizzare le singolarità dell'integrando.
Hai $f(z)=(cos(pi/z))/(z*(z^2-1))$.
La funzione coseno ha una singolarità isolata essenziale in $oo$, quindi il numeratore $cos(pi/z)$ presenta una singolarità isolata di tipo essenziale in $0$ (ciò si stabilisce notando che $lim_(z to 0) pi/z=oo$); d'altra parte il denominatore $z*(z^2-1)$ ha tre zeri d'ordine uno nei punti $0,pm 1$.
Poichè il numeratore non si annulla in $pm1$ ($cos(pm pi)=-1$), la funzione $f$ ha in tali punti sicuramente delle singolarità isolate di tipo polare, ognuna d'ordine uno.
I residui integrali di $f$ in $pm 1$ si calcolano con la formuletta che ti ho fornito in precedenza: risulta:
$"Res"(f;1)=1/(0!)*lim_(z to 1)("d"^0)/("d"z^0)[(z-1)*f(z)]=lim_(zto 1)(cos(pi/z))/(z*(z+1))=-1/2 quad$,
$"Res"(f;-1)=lim_(zto -1)(cos(pi/z))/(z*(z-1))=-1/2 quad$.
Trattamento diverso merita il punto $0$. Innanzitutto notiamo che gli unici fattori a "darci fastidio" in tale punto sono $cos(pi/z)$ e $z$, dei quali il primo ha una singolarità essenziale ed il secondo ha uno zero d'ordine uno: ricordando che $cos(zeta)=\sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((2n)!) zeta^(2n)$ si ha:
(*) $quad (cos(pi/z))/z=\sum_(n=0)^(+oo) ((-1)^n*pi^(2n))/((2n)!) 1/z^(2n+1)$
con convergenza uniforme fuori da ogni cerchio contenente $0$;
d'altra parte il fattore che non "da fastidio", ossia $1/(z^2-1)$, è somma di una serie geometrica: infatti, visto che $1/(1-zeta)=\sum_(n=0)^(+oo)zeta^n$, si ha:
(**) $quad 1/(z^2-1)=-\sum_(n=0)^(+oo)z^(2n) quad$ (l'uguaglianza si stabilisce cambiando di segno ambo i membri dellaprecedente e sostituendo $zeta=z^2$)
con convergenza uniforme nel cerchio di centro $0$ e raggio unitario.
Per noti fatti della teoria, la serie di Laurent di $f$ intorno a $0$ si ottiene facendo il prodotto secondo Cauchy delle due espressioni (*) e (**):
(***) $quad f(z)={\sum_(n=0)^(+oo) ((-1)^n*pi^(2n))/((2n)!) 1/z^(2n+1)} times {-\sum_(n=0)^(+oo)z^(2n)}=-{\sum_(n=0)^(+oo) ((-1)^n*pi^(2n))/((2n)!) 1/z^(2n+1)} times {\sum_(n=0)^(+oo)z^(2n)}$
e la convergenza uniforme è assicurata in ogni corona circolare di centro zero, raggio minore positivo e raggio maggiore $< 1$.
Per calcolare il residuo integrale di $f$ in $0$ non ci occorre sviluppare tutto il prodotto secondo Cauchy che figura a terzo membro della (***): infatti, giacchè $"Res"(f;0)=a_(-1)$, ci interessa solamente determinare il coefficiente della potenza $1/z$ che figura nello sviluppo del prodotto.
La domada è: come si ottiene l'addendo contenente la potenza $1/z$ dal prodotto di Cauchy (***)?
La risposta è semplice: infatti la potenza $1/z$ si ottiene moltiplicando ogni termine con $1/z^(2n+1)$ del primo fattore con l'unico termine contenente $z^(2n)$ del secondo fattore, questo per ogni scelta di $n in NN$!
Ne consegue che per ottenere tutto l'addendo con $1/z$ dello sviluppo di Laurent di $f$ bisogna sommare come segue:
$a_(-1)*1/z=-\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n))/((2n)!) 1/z^(2n+1)*z^(2n)=-[\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n))/((2n)!)]*1/z quad =>$
$quad => quad "Res"(f;0)=a_(-1)=-\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n))/((2n)!)=-\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/((2n)!)*pi^(2n)=-cos pi=1 quad$.
Detto ciò il calcolo dell'integrale assegnato diventa una banale applicazione del Teorema dei Residui.
Ovviamente chiedo sempre di verificare i risultati, visto che potrei aver commesso errori banali.
Buono studio.
"studentean":
scusa gugo ma devo capire meglio,ho bisogno di un paio di esercizi svolti per capire i passaggi e i ragionamenti da fare......
ad esempio :
integrale(con |z|=2)di: cos(pig/z) / z(z^2-1) dz
saresti cosi' gentile da svolgermelo?,in questo caso ho 3 singolarita' 0 i e -i giusto? come devo procedere per calcolarne il residuo?devo sempre sviluppare il coseno come serie di laurent?
HELP!!!
Questo te lo spiego, perchè è interessante: infatti la funzione integranda presenta entrambi i tipi di singolarità.
Siamo d'accordo che per calcolare l'integrale che proponi hai bisogno di sapere quante e quali singolarità l'integrando presenta nel dominio delimitato dalla cammino d'integrazione, ossia nella circonferenza del piano di raggio $2$: pertanto andiamo ad analizzare le singolarità dell'integrando.
Hai $f(z)=(cos(pi/z))/(z*(z^2-1))$.
La funzione coseno ha una singolarità isolata essenziale in $oo$, quindi il numeratore $cos(pi/z)$ presenta una singolarità isolata di tipo essenziale in $0$ (ciò si stabilisce notando che $lim_(z to 0) pi/z=oo$); d'altra parte il denominatore $z*(z^2-1)$ ha tre zeri d'ordine uno nei punti $0,pm 1$.
Poichè il numeratore non si annulla in $pm1$ ($cos(pm pi)=-1$), la funzione $f$ ha in tali punti sicuramente delle singolarità isolate di tipo polare, ognuna d'ordine uno.
I residui integrali di $f$ in $pm 1$ si calcolano con la formuletta che ti ho fornito in precedenza: risulta:
$"Res"(f;1)=1/(0!)*lim_(z to 1)("d"^0)/("d"z^0)[(z-1)*f(z)]=lim_(zto 1)(cos(pi/z))/(z*(z+1))=-1/2 quad$,
$"Res"(f;-1)=lim_(zto -1)(cos(pi/z))/(z*(z-1))=-1/2 quad$.
Trattamento diverso merita il punto $0$. Innanzitutto notiamo che gli unici fattori a "darci fastidio" in tale punto sono $cos(pi/z)$ e $z$, dei quali il primo ha una singolarità essenziale ed il secondo ha uno zero d'ordine uno: ricordando che $cos(zeta)=\sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((2n)!) zeta^(2n)$ si ha:
(*) $quad (cos(pi/z))/z=\sum_(n=0)^(+oo) ((-1)^n*pi^(2n))/((2n)!) 1/z^(2n+1)$
con convergenza uniforme fuori da ogni cerchio contenente $0$;
d'altra parte il fattore che non "da fastidio", ossia $1/(z^2-1)$, è somma di una serie geometrica: infatti, visto che $1/(1-zeta)=\sum_(n=0)^(+oo)zeta^n$, si ha:
(**) $quad 1/(z^2-1)=-\sum_(n=0)^(+oo)z^(2n) quad$ (l'uguaglianza si stabilisce cambiando di segno ambo i membri dellaprecedente e sostituendo $zeta=z^2$)
con convergenza uniforme nel cerchio di centro $0$ e raggio unitario.
Per noti fatti della teoria, la serie di Laurent di $f$ intorno a $0$ si ottiene facendo il prodotto secondo Cauchy delle due espressioni (*) e (**):
(***) $quad f(z)={\sum_(n=0)^(+oo) ((-1)^n*pi^(2n))/((2n)!) 1/z^(2n+1)} times {-\sum_(n=0)^(+oo)z^(2n)}=-{\sum_(n=0)^(+oo) ((-1)^n*pi^(2n))/((2n)!) 1/z^(2n+1)} times {\sum_(n=0)^(+oo)z^(2n)}$
e la convergenza uniforme è assicurata in ogni corona circolare di centro zero, raggio minore positivo e raggio maggiore $< 1$.
Per calcolare il residuo integrale di $f$ in $0$ non ci occorre sviluppare tutto il prodotto secondo Cauchy che figura a terzo membro della (***): infatti, giacchè $"Res"(f;0)=a_(-1)$, ci interessa solamente determinare il coefficiente della potenza $1/z$ che figura nello sviluppo del prodotto.
La domada è: come si ottiene l'addendo contenente la potenza $1/z$ dal prodotto di Cauchy (***)?
La risposta è semplice: infatti la potenza $1/z$ si ottiene moltiplicando ogni termine con $1/z^(2n+1)$ del primo fattore con l'unico termine contenente $z^(2n)$ del secondo fattore, questo per ogni scelta di $n in NN$!
Ne consegue che per ottenere tutto l'addendo con $1/z$ dello sviluppo di Laurent di $f$ bisogna sommare come segue:
$a_(-1)*1/z=-\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n))/((2n)!) 1/z^(2n+1)*z^(2n)=-[\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n))/((2n)!)]*1/z quad =>$
$quad => quad "Res"(f;0)=a_(-1)=-\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n*pi^(2n))/((2n)!)=-\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/((2n)!)*pi^(2n)=-cos pi=1 quad$.
Detto ciò il calcolo dell'integrale assegnato diventa una banale applicazione del Teorema dei Residui.
Ovviamente chiedo sempre di verificare i risultati, visto che potrei aver commesso errori banali.
Buono studio.
grazie tantissime,ora inizio l'analisi.....anche se ho dei dubbi che mi attanagliano, 
ti ho mandato un PM Gugo,rispondimi per favore,grazie
ti ho mandato un PM Gugo,rispondimi per favore,grazie
Gugo82 hai visto il mio ultimo pm che ti ho mandato venerdi sera?fammi sapere per piacere!!!
GRAZIE
GRAZIE
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