Calcolo Integrale prodotto polinomio e Radice
Raga potreste aiutarmi a calcolare il seguente integrale indefinito:
$int( x+1)sqrt(1-x^2)dx$ e se potreste spiegarmi se esite un metodo generale per calcolare questi tipi di integrali?
$int( x+1)sqrt(1-x^2)dx$ e se potreste spiegarmi se esite un metodo generale per calcolare questi tipi di integrali?
Risposte
Io partirei effettuando il prodotto:
$(x+1)\sqrt(1-x^2)= x \sqrt(1-x^2)+\sqrt(1-x^2)$
Dopo, sfrutterei la linearità dell'integrale, ottenendo 2 integrali, uno pressochè immediato, mentre l'altro lo puoi risolvere con una sostituzione trigonometrica. Prova e fammi sapere
$(x+1)\sqrt(1-x^2)= x \sqrt(1-x^2)+\sqrt(1-x^2)$
Dopo, sfrutterei la linearità dell'integrale, ottenendo 2 integrali, uno pressochè immediato, mentre l'altro lo puoi risolvere con una sostituzione trigonometrica. Prova e fammi sapere
Potresti spiegarmi qual'e quello ke va risolto con una sostituzione trigonometrica?
Notando che, ad esempio, $cosx=\sqrt(1-sin^2x)$, puoi operare la sostituzione $t=sinx$
Ma in quale dei integrali posso adoperare questa sostituzione?
Il primo è "quasi" del tipo $\intf(x)f'(x)dx$ quindi, sebbene tu possa farlo anche lì, non ne vale la pena. La sostituzione è molto più utile nel secondo.
Prova a farlo e, eventualmente, posta qui i conti.
Prova a farlo e, eventualmente, posta qui i conti.
allora adoperando la sostituzione ottengo:
$int sqrt(1-x^2)dx= int sqrt(1-sin^2t)cost dt= int cos^3t dt$ è corretto?
$int sqrt(1-x^2)dx= int sqrt(1-sin^2t)cost dt= int cos^3t dt$ è corretto?
Quel $3$ da dove è uscito?? 
è quasi corretto
è quasi corretto
Ah scusa hai ragione nn è al cubo ma al quadrato.Giusto?A questo punto per ridolverlo uso l'integrazione per parto o qualke altro metodo?
Potresti usare l'identità:
$cos(t)^2 = cos(t)cos(t)= 1/2 (1+cos(2t))$ (formula di Werner)
$cos(t)^2 = cos(t)cos(t)= 1/2 (1+cos(2t))$ (formula di Werner)
Grazie 1000 allora dopo aver adottato i tuoi suggerimenti sn arrivato a questo punto:
$1/2t+1/2intcos(2t)dt$ pensi siano corretti fin qui i calcoli.
$1/2t+1/2intcos(2t)dt$ pensi siano corretti fin qui i calcoli.
Sì, vanno bene. Concludi l'integrale $\int cos(2t)dt$ non dovrebbe essere difficile 
.
.
Allora ho ottenuto:
$1/2t+1/4sin 2t+c$ a questo punto dovrei eseguire il cambio di variabili e quindi $x=sint rArr t=arcsinx $ e quindi ottengo:
$1/2arcsinx+1/4 sin(2arcsinx)+c$ giusto?
$1/2t+1/4sin 2t+c$ a questo punto dovrei eseguire il cambio di variabili e quindi $x=sint rArr t=arcsinx $ e quindi ottengo:
$1/2arcsinx+1/4 sin(2arcsinx)+c$ giusto?
"identikit_man":
Allora ho ottenuto:
$1/2t+1/4sin 2t+c$ a questo punto dovrei eseguire il cambio di variabili e quindi $x=sint rArr t=arcsinx $ e quindi ottengo:
$1/2arcsinx+1/4 sin(2arcsinx)+c$ giusto?
Qui devi applicare un trucchetto:
Abbiamo detto che $x= sin(t)$ ciò implica che:
1. $t= arcsin(x)$
2. $\sqrt(1-x^2)= cos(t)$.
Ora $1/4 sin(2t) = 1/2 * (1/2 sin(2t)) =1/2 sin(t)cos(t)$.
dunque:
$1/4 sin(2t) =1/2 sin(t)cos(t) = 1/2 sin(arcsin(x))\sqrt(1-x^2)= 1/2 x sqrt(1-x^2)$.
Tutto chiaro?
Ok grazie 1000 per la spiegazione; nn ci sarei mai arrivato.Avrei un paio di domande da porti(approfitto della tua gentilezza 
).
1)In quali casi posso applicare questo metodo?E' più conveniente questo metodo oppure utilizzare quello per risolvere gli inmtegrali irrazionali nel caso in cui $a<0$
2)come posso risolvere ora il secondo integrale?
).1)In quali casi posso applicare questo metodo?E' più conveniente questo metodo oppure utilizzare quello per risolvere gli inmtegrali irrazionali nel caso in cui $a<0$
2)come posso risolvere ora il secondo integrale?
"identikit_man":
Ok grazie 1000 per la spiegazione; nn ci sarei mai arrivato.Avrei un paio di domande da porti(approfitto della tua gentilezza
1)In quali casi posso applicare questo metodo?E' più conveniente questo metodo oppure utilizzare quello per risolvere gli inmtegrali irrazionali nel caso in cui $a<0$
Personalmente utilizzo questo metodo quando si presentano integrande del tipo $\sqrt(a^2-x^2) , a!=0$ La seconda parte della domanda non mi è chiara
"identikit_man":
2)come posso risolvere ora il secondo integrale?
$\int x \sqrt(1-x^2) dx$? Ti ha suggerito la formula risolutiva K.Lomax. Provaci e dimmi cosa non capisci
allora per risolvere il secondointegrale io ho usato la seguente sostituzione: $1-x^2=t$ e alla fine ho ottenuto il seguente risultato:
$1/3(x^2-1)sqrt(1-x^2)$.Lo si può risolvere così soltantooppure vi è qualke altro metodo più semplice?
$1/3(x^2-1)sqrt(1-x^2)$.Lo si può risolvere così soltantooppure vi è qualke altro metodo più semplice?
Senza effettuare sostituzioni potresti sfruttare il seguente integrale "notevole":
$\int(f(x))^nf'(x)dx=(f(x))^(n+1)/(n+1)$
$\int(f(x))^nf'(x)dx=(f(x))^(n+1)/(n+1)$
Potresti spiegarmi meglio come usare la tecnica da te consigliata?
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