Calcolo integrale lungo l'arco di iperbole
Mi viene richiesto il calcolo dell integrale:
$ int_(gamma) x^3/y^2 dl $
dove $ gamma $ è l'arco di iperbole $ xy = 1 $ la cui proiezione ortogonale contenuta sull' asse $x$ è $[0,1]-{0}$
Come si svolge questa tipologia di esercizi? Per ora ho svolto solo integrali lungo curve parametrizzate, quindi in poche parole ho semplicemente applicato la definizione di integrali di linea di 1° specie.
Mi ha detto un mio amico che devo parametrizzare l'equazione dell'iperbole, sinceramente non capisco ne il senso ne la correttezza di ciò che è stato scritto.
Riporto ciò che mi è stato fatto:
$xy=1$
$ty=1$
$y=1/t$
${ ( x=t ),( y=1/t ):}$
$AA tin [0,1]-{0}$
$ int_(gamma) x^3/y^2 dl $
dove $ gamma $ è l'arco di iperbole $ xy = 1 $ la cui proiezione ortogonale contenuta sull' asse $x$ è $[0,1]-{0}$
Come si svolge questa tipologia di esercizi? Per ora ho svolto solo integrali lungo curve parametrizzate, quindi in poche parole ho semplicemente applicato la definizione di integrali di linea di 1° specie.
Mi ha detto un mio amico che devo parametrizzare l'equazione dell'iperbole, sinceramente non capisco ne il senso ne la correttezza di ciò che è stato scritto.
Riporto ciò che mi è stato fatto:
$xy=1$
$ty=1$
$y=1/t$
${ ( x=t ),( y=1/t ):}$
$AA tin [0,1]-{0}$
Risposte
Ciao Luk_3D,
Beh, si ha:
$\gamma(t) = \gamma(x(t), y(t)) = \gamma(t, 1/t) \qquad t \in (0, 1] $
Ora non ti resta che calcolare $\text{d}l $...
Disponi del risultato dell'esercizio?
Beh, si ha:
$\gamma(t) = \gamma(x(t), y(t)) = \gamma(t, 1/t) \qquad t \in (0, 1] $
Ora non ti resta che calcolare $\text{d}l $...
Disponi del risultato dell'esercizio?
"pilloeffe":
Ciao Luk_3D,
Beh, si ha:
$\gamma(t) = \gamma(x(t), y(t)) = \gamma(t, 1/t) \qquad t \in (0, 1] $
Ora non ti resta che calcolare $\text{d}l $...
Disponi del risultato dell'esercizio?
Quindi per parametrizzare da quello che ho capito basta porre, o $x$ o $y$ uguale ad una variabile (es. $t$) e ricavare l'altra di conseguenza? Ed immagino il dominio di $x$ o $y$ (in base a quella scelta) diventerà il dominio della variabile $t$?
No non dispongo della soluzione dell'esercizio, domani tenterò la risoluzione in attesa di vostre conferme!
Grazie mille.
Beh, nel caso proposto a dire la verità si può anche evitare di parametrizzare, perché $y = f(x) = 1/x $ ed essendo $\text{d}l = \sqrt{(\text{d}x)^2 + (\text{d}y)^2} = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \text{d}x $ si ha:
$ \int_(gamma) x^3/y^2 \text{d}l = \int_0^1 x^5 \sqrt{1 + 1/x^4} \text{d}x = \int_0^1 x^3 \sqrt{1 + x^4} \text{d}x = 1/4 \int_0^1 (1 + x^4)^{1/2} 4x^3 \text{d}x = ... $
$ \int_(gamma) x^3/y^2 \text{d}l = \int_0^1 x^5 \sqrt{1 + 1/x^4} \text{d}x = \int_0^1 x^3 \sqrt{1 + x^4} \text{d}x = 1/4 \int_0^1 (1 + x^4)^{1/2} 4x^3 \text{d}x = ... $
"pilloeffe":
Beh, nel caso proposto a dire la verità si può anche evitare di parametrizzare, perché $y = f(x) = 1/x $ ed essendo $\text{d}l = \sqrt{(\text{d}x)^2 + (\text{d}y)^2} = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \text{d}x $ si ha:
$ \int_(gamma) x^3/y^2 \text{d}l = \int_0^1 x^5 \sqrt{1 + 1/x^4} \text{d}x = \int_0^1 x^3 \sqrt{1 + x^4} \text{d}x = 1/4 \int_0^1 (1 + x^4)^{1/2} 4x^3 \text{d}x = ... $
Per la parametrizzazione quindi si fa come ho scritto? Scusami ma non ho mai affrontato quesiti del genere.
Per la risoluzione dell' integrale, considerando la $t$ parametrizzata ho pensato di svolgerla cosi:
$int_(a)^(b) f(gamma(t))*||gamma'(t)||dt $
$int_(0+epsilon)^(1) t^5*sqrt(1^2+t^(-4)) dt$
Sì beh, se ci fai caso è lo stesso integrale che ti ho scritto io a parte quell'$\epsilon $ nell'estremo inferiore dell'integrale che comunque non serve (nel senso che non ci sono problemi a calcolare l'integrale in $0$ e in $1$).
"pilloeffe":
Sì beh, se ci fai caso è lo stesso integrale che ti ho scritto io a parte quell'$\epsilon $ nell'estremo inferiore dell'integrale che comunque non serve (nel senso che non ci sono problemi a calcolare l'integrale in $0$ e in $1$).
Scusami non avevo notato avendo usato variabili diverse!
Perché in questo caso non è servito parametrizzare? E' corretto il discorso che ho fatto sulla parametrizzazione?
"Luk_3D":
Scusami non avevo notato avendo usato variabili diverse!
Figurati, no problem...
"Luk_3D":
Perché in questo caso non è servito parametrizzare?
Perché nell'esercizio proposto la curva è una funzione, per cui è più semplice tenersi $x$...
"Luk_3D":
E' corretto il discorso che ho fatto sulla parametrizzazione?
Sì.
"pilloeffe":
[quote="Luk_3D"]Scusami non avevo notato avendo usato variabili diverse!
Figurati, no problem...
"Luk_3D":
Perché in questo caso non è servito parametrizzare?
Perché nell'esercizio proposto la curva è una funzione, per cui è più semplice tenersi $x$...
"Luk_3D":
E' corretto il discorso che ho fatto sulla parametrizzazione?
Sì.[/quote]
Ho provato a parametrizzare in un altro esercizio $x^2+4y^2=4$ ma non mi viene la cosa più bella al mondo da utilizzare successivamente in un integrale.
$ { ( x=sqrt(t) ),( y=sqrt(1-(t/2)^2) ):} $
Avendo $x^2+4y^2=4 $ dividerei tutto per $4 $ sicché $ 1/4 x^2 + y^2 = 1 $ e poi parametrizzerei nel modo seguente:
$ {(x = 2 cos t),(y = sin t):} $
$ {(x = 2 cos t),(y = sin t):} $
"pilloeffe":
Avendo $x^2+4y^2=4 $ dividerei tutto per $4 $ sicché $ 1/4 x^2 + y^2 = 1 $ e poi parametrizzerei nel modo seguente:
$ {(x = 2 cos t),(y = sin t):} $
Potresti spiegarmi il procedimento? Dovrei imparare l'equazione di tutte le coniche?
"Luk_3D":
Dovrei imparare l'equazione di tutte le coniche?
Beh di tutte magari no, ma almeno di ellisse e circonferenza, iperbole e parabola sì...
Nel caso in esame si riconosce subito un'ellisse di semiassi $a = 2 $ (sull'asse $x$) e $b = 1 $ (sull'asse $y$).
"pilloeffe":
[quote="Luk_3D"]Dovrei imparare l'equazione di tutte le coniche?
Beh di tutte magari no, ma almeno di ellisse e circonferenza, iperbole e parabola sì...
Nel caso in esame si riconosce subito un'ellisse di semiassi $a = 2 $ (sull'asse $x$) e $b = 1 $ (sull'asse $y$).[/quote]
"Luk_3D":
Ho provato a parametrizzare in un altro esercizio $x^2+4y^2=4$ ma non mi viene la cosa più bella al mondo da utilizzare successivamente in un integrale.
$ { ( x=sqrt(t) ),( y=sqrt(1-(t/2)^2) ):} $
Come mai questo metodo (quello dove pongo $t = x$) in questo caso non ha funzionato?
"Luk_3D":
Come mai questo metodo (quello dove pongo $t=x$) in questo caso non ha funzionato?
Non è ciò che hai scritto:
"Luk_3D":
Ho provato a parametrizzare in un altro esercizio $x^2+4y^2=4 $ ma non mi viene la cosa più bella al mondo da utilizzare successivamente in un integrale.
$ {(x = sqrt(t)),(y = sqrt(1-(t/2)^2)):} $
Poi, posto che sia in effetti $x = t $ (e non $x = sqrt(t)$), chi ti autorizza a scegliere la soluzione positiva per $y $ e non quella negativa? Disponi di informazioni supplementari che non hai condiviso nel post iniziale?
In generale non è che una parametrizzazione funziona ed un'altra no: si tratta di vedere qual è quella più comoda da utilizzare successivamente in un integrale... "Funziona" anche quella che hai proposto tu se è corretta anche se magari come hai scritto
"Luk_3D":
[...] non mi viene la cosa più bella al mondo da utilizzare successivamente in un integrale.
Capito, grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo