Calcolo integrale in campo complesso.
Ciao a tutti, ho da svolgere questo integrale che ho trovato in alcuni esercizi di analisi complessa:
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{e^{3x} - e^{x}}{e^{4x} +10e^{2x}+9}} dx\)
Ho provato a modificarlo in questo modo:
Ho notato che gli estremi vanno da \(\displaystyle -\infty \) a \(\displaystyle \infty \) quidi sembrerebbe un integrale del 1° tipo cioè quello in cui trovo i punti di discontinuità e poi faccio i residui solo in quei punti che si trovano nella semicirconferenza positiva di raggio R (un raggio di lunghezza tale da comprendere tutte le singolarità nella semicirconferenza positiva). Poi però il teorama dice anche che l'integranda deve rispettare questa cosa:
grado del polinomio al denominatore - grado del polinomio al numerato deve essere > 1
Non credo siano polinomi quelli nell'integranda quindi ho provato ad applicare il logaritmo sia sopra che sotto, e viene:
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{2x}{24x+\log(9)}} dx\)
Qui il grado al numeratore è 1 e quello al denominatore è 1 ==> 1-1 = 0
Quindi non posso applicare il teorema dei residui solo sulla semicirconferenza.
Intanto vi chiedo: e' lecito fare quello che ho fatto?
Poi volevo chiedervi: Come vado avanti a questo punto? Svolgo l'integrale nel modo più comune? Oppure trovo le sicngolarità del denominatore e applico il teorema dei residui (a questo punto, però ,su tutta la circonferenza di raggio R) ?
Ps: Spero di essere stato chiaro.
Grazie delle eventuali risposte.
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{e^{3x} - e^{x}}{e^{4x} +10e^{2x}+9}} dx\)
Ho provato a modificarlo in questo modo:
Ho notato che gli estremi vanno da \(\displaystyle -\infty \) a \(\displaystyle \infty \) quidi sembrerebbe un integrale del 1° tipo cioè quello in cui trovo i punti di discontinuità e poi faccio i residui solo in quei punti che si trovano nella semicirconferenza positiva di raggio R (un raggio di lunghezza tale da comprendere tutte le singolarità nella semicirconferenza positiva). Poi però il teorama dice anche che l'integranda deve rispettare questa cosa:
grado del polinomio al denominatore - grado del polinomio al numerato deve essere > 1
Non credo siano polinomi quelli nell'integranda quindi ho provato ad applicare il logaritmo sia sopra che sotto, e viene:
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{2x}{24x+\log(9)}} dx\)
Qui il grado al numeratore è 1 e quello al denominatore è 1 ==> 1-1 = 0
Quindi non posso applicare il teorema dei residui solo sulla semicirconferenza.
Intanto vi chiedo: e' lecito fare quello che ho fatto?
Poi volevo chiedervi: Come vado avanti a questo punto? Svolgo l'integrale nel modo più comune? Oppure trovo le sicngolarità del denominatore e applico il teorema dei residui (a questo punto, però ,su tutta la circonferenza di raggio R) ?
Ps: Spero di essere stato chiaro.
Grazie delle eventuali risposte.
Risposte
Ma quando applichi il logritmo non dovresti applicarlo a tutto il numeratore/denominatore?
Perchè $ln (f(x)+g(x)) != ln f(x) + ln g(x)$!
A te viene $2x$, mentre se applichi il logaritmo a tutto il numeratore avresti $x*ln(e^{2x}-1)$
Perchè $ln (f(x)+g(x)) != ln f(x) + ln g(x)$!
A te viene $2x$, mentre se applichi il logaritmo a tutto il numeratore avresti $x*ln(e^{2x}-1)$
Hai ragione, rifaccio il calcolo !
Purtroppo non conosco questa analisi complessa, e non so nemmeno se l'obbiettivo è di calcolare l'integrale 
Ma non si risolve semplicemente con $e^x=t$ e poi sfruttare il rapporto tra polinomi per trasformarlo in due integrali risolvibili come arcotangenti?
P.S. Se l'obbiettivo non era di calcolarli, ma più uno "studio" di integrale, scusatemi
Ma non si risolve semplicemente con $e^x=t$ e poi sfruttare il rapporto tra polinomi per trasformarlo in due integrali risolvibili come arcotangenti?
P.S. Se l'obbiettivo non era di calcolarli, ma più uno "studio" di integrale, scusatemi
No l'obiettivo è calcolare l'integrale in qualunque modo tu conosca, l'analisi complessa ti offre dei metodi per calcolare alcuni integrali difficili in un modo un po' più semplice. Io stavo cercando, appunto, quel "modo più semplice" ma se non lo dovessi trovare posso calcolarlo nel modo "canonico".
Ho scritto qui per sapere se qualcuno più esperto di me riuscisse a vedere l'integrale da una certa prospettiva da farmi risparmiare dei calcoli, utilizzando magari i residui.
Comunque adesso lo risolvo nel modo che hai detto tu.
Grazie mille !
Ho scritto qui per sapere se qualcuno più esperto di me riuscisse a vedere l'integrale da una certa prospettiva da farmi risparmiare dei calcoli, utilizzando magari i residui.
Comunque adesso lo risolvo nel modo che hai detto tu.
Grazie mille !
Per chi dovesse avere questo tipo ti problema , scrivo come ho risolto. Alla fine ho usato il teorema dei residui.
Sostituisco \(\displaystyle e^x = t \) quindi \(\displaystyle dx = \frac{1}{t} dt \)
Facendo questa sostituzione gli intervalli di integrazione cambiano. Come cambiano?
Cosi: (sostituendo gli intervalli inziali alla sostituzione che ho fatto):
\(\displaystyle t = e^x = \)\(\displaystyle t(-\infty) = e^{-\infty} = 0 \)
\(\displaystyle t = e^x = \)\(\displaystyle t(\infty) = e^{\infty} = \infty\)
Quindi i nuovi intervalli sono \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle \infty \).
Voglio integrare ,però, tra \(\displaystyle -\infty \) e \(\displaystyle +\infty \) per utilizzare la proprietà che dice: Se ho un integrale che va tra \(\displaystyle -\infty \) e \(\displaystyle +\infty \) e il grado del denominatore - il grado del numeratore è > 1, posso svolgere i residui sulle singolarità che stanno sulla semicirconfernza posiziva di raggio R (raggio tale che le contenga tutte).
Quindi per fare ciò devo miltiplicare l'integrale per \(\displaystyle \frac{1}{2} \).
Dopo aver scomposto il denominatore e trovato le singolarità, faccio i residui nelle singolarità positive cioè \(\displaystyle 0,i,3i \).
Sommo i residui e moltiplico il tutto per \(\displaystyle \frac{1}{2} \). Il risultato è : \(\displaystyle \frac{\pi}{12} \)
Grazie dell'aiuto che mi avete dato.
Sostituisco \(\displaystyle e^x = t \) quindi \(\displaystyle dx = \frac{1}{t} dt \)
Facendo questa sostituzione gli intervalli di integrazione cambiano. Come cambiano?
Cosi: (sostituendo gli intervalli inziali alla sostituzione che ho fatto):
\(\displaystyle t = e^x = \)\(\displaystyle t(-\infty) = e^{-\infty} = 0 \)
\(\displaystyle t = e^x = \)\(\displaystyle t(\infty) = e^{\infty} = \infty\)
Quindi i nuovi intervalli sono \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle \infty \).
Voglio integrare ,però, tra \(\displaystyle -\infty \) e \(\displaystyle +\infty \) per utilizzare la proprietà che dice: Se ho un integrale che va tra \(\displaystyle -\infty \) e \(\displaystyle +\infty \) e il grado del denominatore - il grado del numeratore è > 1, posso svolgere i residui sulle singolarità che stanno sulla semicirconfernza posiziva di raggio R (raggio tale che le contenga tutte).
Quindi per fare ciò devo miltiplicare l'integrale per \(\displaystyle \frac{1}{2} \).
Dopo aver scomposto il denominatore e trovato le singolarità, faccio i residui nelle singolarità positive cioè \(\displaystyle 0,i,3i \).
Sommo i residui e moltiplico il tutto per \(\displaystyle \frac{1}{2} \). Il risultato è : \(\displaystyle \frac{\pi}{12} \)
Grazie dell'aiuto che mi avete dato.
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