Calcolo integrale improprio
Ciao a tutti,
mi potreste dare delle dritte per studiare il carattere di integrali impropri?
Ad esempio se io ho questo $ int_0^oo (arctg(x))/x^(2a) $ come ragiono?
mi potreste dare delle dritte per studiare il carattere di integrali impropri?
Ad esempio se io ho questo $ int_0^oo (arctg(x))/x^(2a) $ come ragiono?
Risposte
Uhm io ci provo, ma non ti assicuro nulla...
Allora, innanzitutto devi considerare gli estremi dell'integrale e vedere dov'è il problema. In questo caso, il problema si pone solo a 0, perché verrebbe fuori una forma indeterminata $ 0/0 $
A questo punto, bisogna studiare il limite $ lim_(omega -> 0 ) (arctg(omega))/(omega^(2a)) $
Io qui utilizzerei il teorema del confronto asintotico, con gli sviluppi di Mclaurin che mi sembra la cosa più semplice da fare: poiché l'argomento dell'arcotangente tende a 0, infatti, si ha:
$ arctg(omega)= omega + o(omega^2)rArr (omega + o(omega^2))/omega^(2a)=omega^(1-2a)(1+o(1)) $
Dal criterio del confronto asintotico segue che l'integrale converge se $ 1-2a<1rArr a>0 $
Il risultato non mi convince molto, ma il ragionamento lo imposterei così.
Allora, innanzitutto devi considerare gli estremi dell'integrale e vedere dov'è il problema. In questo caso, il problema si pone solo a 0, perché verrebbe fuori una forma indeterminata $ 0/0 $
A questo punto, bisogna studiare il limite $ lim_(omega -> 0 ) (arctg(omega))/(omega^(2a)) $
Io qui utilizzerei il teorema del confronto asintotico, con gli sviluppi di Mclaurin che mi sembra la cosa più semplice da fare: poiché l'argomento dell'arcotangente tende a 0, infatti, si ha:
$ arctg(omega)= omega + o(omega^2)rArr (omega + o(omega^2))/omega^(2a)=omega^(1-2a)(1+o(1)) $
Dal criterio del confronto asintotico segue che l'integrale converge se $ 1-2a<1rArr a>0 $
Il risultato non mi convince molto, ma il ragionamento lo imposterei così.
Il problema si presenta sia a zero che ad infinito, non solo in zero. E tra l'altro c'è un piccolo problema nel modo in cui viene posta la disuguaglianza da WhereIsMyMind8.
Per determinare l'integrabilità in zero, puoi procedere come ti è già stato detto, analizzando il comportamento degli infinitesimi e osservando che la funzione integranda ha un andamento del tipo $1/x^{2\alpha-1}$ e pertanto il suo integrale è definito in zero solo se $2\alpha-1<1$ e quindi deve essere $\alpha<1$.
All'infinito, invece, si presenta un andamento del tipo $\pi/{2x^{2\alpha}}$ e in questo caso, affinché l'integrale sia definito, deve essere $2\alpha>1$ per cui $\alpha>1/2$.
ne segue che l'integrale è definito per $\alpha\in(1/2,1)$.
Per determinare l'integrabilità in zero, puoi procedere come ti è già stato detto, analizzando il comportamento degli infinitesimi e osservando che la funzione integranda ha un andamento del tipo $1/x^{2\alpha-1}$ e pertanto il suo integrale è definito in zero solo se $2\alpha-1<1$ e quindi deve essere $\alpha<1$.
All'infinito, invece, si presenta un andamento del tipo $\pi/{2x^{2\alpha}}$ e in questo caso, affinché l'integrale sia definito, deve essere $2\alpha>1$ per cui $\alpha>1/2$.
ne segue che l'integrale è definito per $\alpha\in(1/2,1)$.
Infatti il mio risultato non convinceva molto neanche me.
Grazie per la correzione!
Grazie per la correzione!
Quindi, in questo tipo di esercizi, per vedere dove sta il problema mi devo calcolare il limite per $x->a$ e il limite per $x->b$ dove $a$ e $b$ sono gli estremi dell'integrale?
Sostanzialmente sì, ma non parlerei di limite, quanto di andamento asintotico.
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