Calcolo integrale doppio

[fede.unive]

Salve a tutti,
premetto che sono alle prime armi con gli integrali doppi, quindi siate buoni
Devo calcolare per quali valori di $q >=0$, posto $0<= t<=1$ e $0<= s<=1$ si ha

$\int_0^1 \int_0^1 |t-s|^{1/2-q} $ $\text{d}s$ $\text{d}t < oo$

Intanto ho provato a risolverlo per integrazioni semplici (si puo?)

$\int_0^1 ( \int_0^1 |t-s|^{1/2-q} \quad \text{d}s)$ $\text{d}t$

Quindi, se $t>=s$, ho

$ \int_0^1 (t-s)^{1/2-q} \quad \text{d}s=
{(-ln|t-s| \quad |_0^1,if q=3/2),((-(t-s)^(3/2-q))/(3/2-q)\quad |_0^1,if q!=3/2):}= {(-ln|t-1| + ln |t|,if q=3/2),((-(t-1)^(3/2-q) + t^(3/2-q))/(3/2-q),if q!=3/2):}$

Per le condizioni su $t$, si ha

$ \int_0^1 (t-s)^{1/2-q} \quad \text{d}s={(-ln(1-t) + ln(t),if q=3/2),((-(t-1)^(3/2-q) + t^(3/2-q))/(3/2-q),if q!=3/2):}$

Se $t
$ \int_0^1 (s-t)^{1/2-q} \quad \text{d}s=
{(ln|s-t| \quad |_0^1,if q=3/2),(((s-t)^(3/2-q))/(3/2-q)\quad |_0^1,if q!=3/2):}= {(ln|1-t| - ln |-t|,if q=3/2),(((1-t)^(3/2-q) - (-t)^(3/2-q))/(3/2-q),if q!=3/2):}$

Per le condizioni su $t$, si ha

$ \int_0^1 (s-t)^{1/2-q} \quad \text{d}s={(ln(1-t) - ln (t),if q=3/2),(((1-t)^(3/2-q) - (-t)^(3/2-q))/(3/2-q),if q!=3/2):}$

Fin qui è tutto giusto? C'è un modo per "compattare" i due casi dati dal valore assoluto $|t-s|$?

[fede.unive]

Provo in un altro modo (del quale sono ancora più incerto).
Se $0<=t<=1$ e $0<=s<=1$, allora sicuramente anche $0<=|t-s|<=1$. Cerco allora di risolverlo per sostituzione. Pongo

$x=f(t,s)=|t-s|={(t-s,if t>=s),(s-t,if t
Pertanto, il differenziale di questa funzione è

$\text{d}x=f'_t(t,s) \quad \text{d}t={( \text{d}t,if t>=s),(- \text{d}t,if t
e (????Mah)

$\text{d}x=f'_s(t,s) \quad \text{d}s={( -\text{d}s,if t>=s),( \text{d}s,if t
Pertanto se $t>=s$, risulterebbe $\text{d}t$ $\text{d}s= - \text{d}x^2$. Allo stesso modo, se $t
$\int_0^1 \int_0^1 |t-s|^{1/2-q} \quad \text{d}t$ $\text{d}s$

come

$\int_0^1 x^{1/2-q}$ $(- \text{d}x^2)=-\int_0^1 x^{1/2-q} \cdot 2x$ $\text{d}x=-2 \int_0^1 x^{3/2-q}$ $\text{d}x$

Tutte scemenze?