Calcolo integrale di Gauss
Ciao a tutti, vorrei alcuni chiarimenti per quanto riguarda il calcolo dell'integrale di gauss.
Parto con il volere calcolare questo integrale: $ int_(-oo)^(+oo) 1/(sqrt(2pi))*e^((-x^2)/2) dx $
Ora vado a porre: $ u=x/(sqrt(2)) $ e quindi $ du=sqrt2dx $.
Semplificando le radici di due ottengo l'integrale di gauss: $ 1/(sqrt(pi))int_(-oo)^(+oo)e^((-u)^2)udx $
Ora ho un paio di passaggi che ha fatto il prof che non mi sono molto chiari; praticamente ora scrive l'integrale in questo modo:
$ int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo)e^-(x^2+y^2)dxdy $ e dopo qualche semplice conto arriva ad ottenere: $ int_(-oo)^(+oo)e^(-x^2)dxint_(-oo)^(+oo)e^(-y^2)dy $ e quindi si ottiene: $ (int_(-oo)^(+oo)e^(-x^2)dx)^2 $
Dubbio: perchè una volta che trovo l'integrale di gauss passo a scrivere lo stesso integrale in due variabili? mi manca il collegamento tra questi due integrali: $ 1/(sqrt(pi))int_(-oo)^(+oo)e^((-u)^2)udx $ e $ int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo)e^-(x^2+y^2)dxdy $
Spero di essere stato abbastanza chiaro. Grazie
Parto con il volere calcolare questo integrale: $ int_(-oo)^(+oo) 1/(sqrt(2pi))*e^((-x^2)/2) dx $
Ora vado a porre: $ u=x/(sqrt(2)) $ e quindi $ du=sqrt2dx $.
Semplificando le radici di due ottengo l'integrale di gauss: $ 1/(sqrt(pi))int_(-oo)^(+oo)e^((-u)^2)udx $
Ora ho un paio di passaggi che ha fatto il prof che non mi sono molto chiari; praticamente ora scrive l'integrale in questo modo:
$ int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo)e^-(x^2+y^2)dxdy $ e dopo qualche semplice conto arriva ad ottenere: $ int_(-oo)^(+oo)e^(-x^2)dxint_(-oo)^(+oo)e^(-y^2)dy $ e quindi si ottiene: $ (int_(-oo)^(+oo)e^(-x^2)dx)^2 $
Dubbio: perchè una volta che trovo l'integrale di gauss passo a scrivere lo stesso integrale in due variabili? mi manca il collegamento tra questi due integrali: $ 1/(sqrt(pi))int_(-oo)^(+oo)e^((-u)^2)udx $ e $ int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo)e^-(x^2+y^2)dxdy $
Spero di essere stato abbastanza chiaro. Grazie
Risposte
non potendo calcolare direttamente $I=int_(-oo)^(+oo)e^(-x^2)dx$ usa il seguente artificio:
calcola l'integrale di $I^2=int_(-oo)^(+oo)e^(-x^2)dxint_(-oo)^(+oo)e^(-y^2)dy$ che si risolve facilmente in coordinate polari e poi ricava il valore di $I=sqrt(I^2)$
@Bremen000: non è che sei lento è che io ho riassunto velocemente il problema....comunque repetita iuvant...(speriamo)
calcola l'integrale di $I^2=int_(-oo)^(+oo)e^(-x^2)dxint_(-oo)^(+oo)e^(-y^2)dy$ che si risolve facilmente in coordinate polari e poi ricava il valore di $I=sqrt(I^2)$
@Bremen000: non è che sei lento è che io ho riassunto velocemente il problema....comunque repetita iuvant...(speriamo)
Ciao, c'è qualche errore di sostituzione:
$u = \frac{x}{\sqrt{2}} \Rightarrow du = \frac{dx}{\sqrt{2}} $ da cui si ottiene $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx =\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2}du$.
Dopodiché si pone $I= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}$ da cui $I^2 = I*I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} * \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)}dxdy$
(Le variabili sono solo lettere, le si chiama $x$ e $y$ per comodità).
Si procede in questa maniera perché adesso passando in coordinate polari:
$I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)}dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^{+\infty} \rho e^{-\rho^2} d\rho d\theta= \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^{+\infty} \rho e^{-\rho^2} d\rho = 2\pi [-\frac{1}{2} e^{-\rho^2}]_{0}^{\+infty} = \pi$
E quindi si ottiene $I= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}= \sqrt{I^2} = \sqrt{\pi}$.
Da cui $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} I = 1 $.
Edit: tommik perdonami, sono lento a scrivere!
$u = \frac{x}{\sqrt{2}} \Rightarrow du = \frac{dx}{\sqrt{2}} $ da cui si ottiene $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx =\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2}du$.
Dopodiché si pone $I= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}$ da cui $I^2 = I*I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} * \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)}dxdy$
(Le variabili sono solo lettere, le si chiama $x$ e $y$ per comodità).
Si procede in questa maniera perché adesso passando in coordinate polari:
$I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)}dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^{+\infty} \rho e^{-\rho^2} d\rho d\theta= \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^{+\infty} \rho e^{-\rho^2} d\rho = 2\pi [-\frac{1}{2} e^{-\rho^2}]_{0}^{\+infty} = \pi$
E quindi si ottiene $I= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}= \sqrt{I^2} = \sqrt{\pi}$.
Da cui $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} I = 1 $.
Edit: tommik perdonami, sono lento a scrivere!
Grazie per le risposte, solo un chiarimento vi chiedo;
Allora le coordinate polari sono: $ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosentheta):} $
perchè $ rho $ varia da $ 0 $ a $ 2pi $ mentre $ x $ varia da $ 0 $ a $ +oo $?
Grazie
Allora le coordinate polari sono: $ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosentheta):} $
perchè $ rho $ varia da $ 0 $ a $ 2pi $ mentre $ x $ varia da $ 0 $ a $ +oo $?
Grazie
No, $\rho = \sqrt(x^2+y^2)$ varia da $0$ a $+\infty$ mentre $\theta$ varia tra $0$ e $2\pi$.
Grazie mille
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