Calcolo integrale di Cauchy - correzione esercizio
Buon pomeriggio a tutti, ho appena finito l'esercizio annunciato nel titolo e vorrei chiedervi di dargli un'occhiata, se possibile, per valutare eventuali errori.
${ ( y''-8y'+15y = xe^(3x) ),( y(0)=0 ),( y'(0)=0 ):}$
Studi l'associata ottenendo: $lambda1=5 $ e $lambda2=3 $ e $Delta>0$
$y(x)=C1e^(lambda1 x)+C2e^(lamda2 x)$
nel mio caso ho:
$y(x)=C1e^(5x)+C2e^(3x)$
Il mio integrale particolare è:
$yp(x)=(ax+b)*xe^(3x) = xe^(3x)ax + xe^(3x)b$
$y'p(x)= a(2xe^(3x) + 3x^2 e^(3x))+b(e^(3x) +3xe^(3x))$
$y''p(x)= a(2e^(3x) +12xe^(3x) +9x^2 e^(3x))+b(6e^(3x) +9xe^(3x))$
Sostituisco nella traccia ed ottengo:
$2ae^(3x)-4axe^(3x) -2be^(3x) = xe^(3x)$
$-4axe^(3x)+e^(3x)*(2a-2b)=xe^(3x)$
da qui ottengo che : $-4a=1$ e $-2a+2b=0$ e di conseguenza $a= -1/4$ e $b=-1/4$
Trovati $a$ e $b$ ho:
$yp(x)= -1/4 x^2e^(3x) - 1/4 x e^(3x) =-1/4*(x^2e^(3x)+xe^(3x))$
A questo punto la mia y(x) diventa:
$y(x)=C1e^(5x)+C2e^(3x) -1/4*(x^2e^(3x)+xe^(3x))$
e derivandola ho:
$y'(x)= ((20e^(5x)C1 +12e^(3x)C2 -5xe^(3x)-3x^2 e^(3x)-e^(3x))/4)$
Applico le condizioni iniziali ad $y(x)$ e ad $y'(x)$ ottenendo:
${ ( C1+C2=0 ),( 20C1 +12C2 -1=0 ):}$
${ ( C1=-C2),( 20C1 +12C2 -1=0 ):}$
alla fine ottengo:
$ C1= 1/8$ e $C2=-1/8$
In definitiva la soluzione alla quale sono arrivato è la seguente:
$y(x)= 1/8 e^(5x)-1/8e^(3x) -1/4 (x^2 e^(3x) +xe^(3x)) $
Un grazie in anticipo a tutti coloro che mi aiuteranno nella correzione
${ ( y''-8y'+15y = xe^(3x) ),( y(0)=0 ),( y'(0)=0 ):}$
Studi l'associata ottenendo: $lambda1=5 $ e $lambda2=3 $ e $Delta>0$
$y(x)=C1e^(lambda1 x)+C2e^(lamda2 x)$
nel mio caso ho:
$y(x)=C1e^(5x)+C2e^(3x)$
Il mio integrale particolare è:
$yp(x)=(ax+b)*xe^(3x) = xe^(3x)ax + xe^(3x)b$
$y'p(x)= a(2xe^(3x) + 3x^2 e^(3x))+b(e^(3x) +3xe^(3x))$
$y''p(x)= a(2e^(3x) +12xe^(3x) +9x^2 e^(3x))+b(6e^(3x) +9xe^(3x))$
Sostituisco nella traccia ed ottengo:
$2ae^(3x)-4axe^(3x) -2be^(3x) = xe^(3x)$
$-4axe^(3x)+e^(3x)*(2a-2b)=xe^(3x)$
da qui ottengo che : $-4a=1$ e $-2a+2b=0$ e di conseguenza $a= -1/4$ e $b=-1/4$
Trovati $a$ e $b$ ho:
$yp(x)= -1/4 x^2e^(3x) - 1/4 x e^(3x) =-1/4*(x^2e^(3x)+xe^(3x))$
A questo punto la mia y(x) diventa:
$y(x)=C1e^(5x)+C2e^(3x) -1/4*(x^2e^(3x)+xe^(3x))$
e derivandola ho:
$y'(x)= ((20e^(5x)C1 +12e^(3x)C2 -5xe^(3x)-3x^2 e^(3x)-e^(3x))/4)$
Applico le condizioni iniziali ad $y(x)$ e ad $y'(x)$ ottenendo:
${ ( C1+C2=0 ),( 20C1 +12C2 -1=0 ):}$
${ ( C1=-C2),( 20C1 +12C2 -1=0 ):}$
alla fine ottengo:
$ C1= 1/8$ e $C2=-1/8$
In definitiva la soluzione alla quale sono arrivato è la seguente:
$y(x)= 1/8 e^(5x)-1/8e^(3x) -1/4 (x^2 e^(3x) +xe^(3x)) $
Un grazie in anticipo a tutti coloro che mi aiuteranno nella correzione
Risposte
Ciao Marco Beta2,
Ammetto di non aver guardato per bene i calcoli, ma la soluzione finale del PdC che hai scritto è corretta.
Ammetto di non aver guardato per bene i calcoli, ma la soluzione finale del PdC che hai scritto è corretta.
La soluzione è giusta. Qual è la miglior verifica? Derivare fino all'ordine necessario e sostituire nell'equazione differenziale.
Se l'equazione differenziale è soddisfatta allora stai sicuro che, crolli il mondo, quella soluzione è corretta!
Edit: Scusami @pilloeffe, non c'era ancora la tua risposta quando ho iniziato a scrivere
Se l'equazione differenziale è soddisfatta allora stai sicuro che, crolli il mondo, quella soluzione è corretta!
Edit: Scusami @pilloeffe, non c'era ancora la tua risposta quando ho iniziato a scrivere
"Mephlip":
La soluzione è giusta. Qual è la miglior verifica? Derivare fino all'ordine necessario e sostituire nell'equazione differenziale.
Se l'equazione differenziale è soddisfatta allora stai sicuro che, crolli il mondo, quella soluzione è corretta!
Edit: Scusami @pilloeffe, non c'era ancora la tua risposta quando ho iniziato a scrivere
"pilloeffe":
Ciao Marco Beta2,
Ammetto di non aver guardato per bene i calcoli, ma la soluzione finale del PdC che hai scritto è corretta.
Grazie infinite ragazzi per la vostra disponibilità
P.s.
il fatto della verifica è la prima volta che lo sento e mi può tornare utilissimo... si deriva la soluzione? ho capito bene?
grazie
Semplicemente fai quello che ti chiede il problema di Cauchy, nel tuo caso sta chiedendo:
"Chi è la funzione $y(x)$ tale che la derivata seconda di $y(x)$ meno otto volte la derivata prima di $y(x)$ più quindici volte $y(x)$ faccia $xe^(3x)$ con quelle condizioni iniziali?".
Perciò derivi due volte, sostituisci $y''$, $y'$ ed $y$ nell'equazione differenziale e vedi se esce $xe^(3x)=xe^(3x)$.
Se esce, sicuro è giusto (salvo astri che si allineano e fanno venire il risultato pure con gli errori di mezzo).
Se non esce o hai sbagliato nel trovare la funzione o hai sbagliato nel trovare le costanti
Praticamente è come quando hai uno zero di un'equazione e brutalmente lo sostituisci per vedere se è soluzione, qui è lo stesso ma con funzioni e derivate.
"Chi è la funzione $y(x)$ tale che la derivata seconda di $y(x)$ meno otto volte la derivata prima di $y(x)$ più quindici volte $y(x)$ faccia $xe^(3x)$ con quelle condizioni iniziali?".
Perciò derivi due volte, sostituisci $y''$, $y'$ ed $y$ nell'equazione differenziale e vedi se esce $xe^(3x)=xe^(3x)$.
Se esce, sicuro è giusto (salvo astri che si allineano e fanno venire il risultato pure con gli errori di mezzo
).Se non esce o hai sbagliato nel trovare la funzione o hai sbagliato nel trovare le costanti
Praticamente è come quando hai uno zero di un'equazione e brutalmente lo sostituisci per vedere se è soluzione, qui è lo stesso ma con funzioni e derivate.
"Mephlip":
Scusami @pilloeffe, non c'era ancora la tua risposta quando ho iniziato a scrivere
Ma di niente, figurati, anche perché siamo in linea: sarebbe stato peggio se avessimo scritto cose discordanti...
"Marco Beta2":
Grazie infinite ragazzi per la vostra disponibilità
Prego!
"Mephlip":
Semplicemente fai quello che ti chiede il problema di Cauchy, nel tuo caso sta chiedendo:
"Chi è la funzione $y(x)$ tale che la derivata seconda di $y(x)$ meno otto volte la derivata prima di $y(x)$ più quindici volte $y(x)$ faccia $xe^(3x)$ con quelle condizioni iniziali?".
Perciò derivi due volte, sostituisci $y''$, $y'$ ed $y$ nell'equazione differenziale e vedi se esce $xe^(3x)=xe^(3x)$.
Se esce, sicuro è giusto (salvo astri che si allineano e fanno venire il risultato pure con gli errori di mezzo
Se non esce o hai sbagliato nel trovare la funzione o hai sbagliato nel trovare le costanti
Praticamente è come quando hai uno zero di un'equazione e brutalmente lo sostituisci per vedere se è soluzione, qui è lo stesso ma con funzioni e derivate.
Grazie
tutto chiaro
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