Calcolo integrale definito
Ragazzi, ho il seguente interale definito di estremi [-1,1]:
$intx^5/((x^3-2)(|x|^3+5)$
non soltanto non saprei da dove iniziare con la risoluzione di questo integrale ma oltretutto non riesco a svolgere la seguente consegna:
trovare tutti i valori di p appartenente a ]0,+oo[ per i quali la funzione $ (tgx)^p$ è integrabile in [0,$pi/2$].
spero nelle vostre chiare parole...
grazie, alex
$intx^5/((x^3-2)(|x|^3+5)$
non soltanto non saprei da dove iniziare con la risoluzione di questo integrale ma oltretutto non riesco a svolgere la seguente consegna:
trovare tutti i valori di p appartenente a ]0,+oo[ per i quali la funzione $ (tgx)^p$ è integrabile in [0,$pi/2$].
spero nelle vostre chiare parole...
grazie, alex
Risposte
Per l'integrale dividilo in $\int_{-1}^{0} f(x) + \int_{0}^{1} f(x)$ , così puoi levare in entrambi i casi il valore assoluto (una volta lo caverai mettendoci il meno, un'altra il +). Dopo di che fratti semplici...
Paola
Paola
"prime_number":
Per l'integrale dividilo in $\int_{-1}^{0} f(x) + \int_{0}^{1} f(x)$ , così puoi levare in entrambi i casi il valore assoluto (una volta lo caverai mettendoci il meno, un'altra il +). Dopo di che fratti semplici...
Paola
splendido....ignoravo questo procedimento per eliminare il valore assoluto...linearità...wow.
un'altra ultima cosa: per la seconda consegna, qual è il ragionamento da fare? ho parecchi esercizi da svolgere che richiedono quanto proposto....così da non disturbarvi sempre;)
grazie, alex
Un suggerimento che forse diminuisce i calcoli: io vedrei il numeratore come
$x^5=x^2x^3=\frac{1}{3} 3x^2 x^3$
e notando che $3x^2$ è la derivata di $x^3$ farei una sostituzione $y=x^3$ .
Per il secondo problema devi ricordare che $tan(x)/x\to1$ per $x\to 0$, che è equivalente a dire
$tan(x)=x+o(x)$. Per i criteri di confronto (asintotico) sugli integrali impropri (per funzioni positive)
$tan^p(x)$ è integrabile vicino a zero se e sol se $x^p$ lo è e cioè se $p> - 1$. Questo purtroppo non conclude la
questione dato che l'integrando è singolare anche in $\pi/2$. Per trattare l'integrabilità vicino a $\pi/2$ conviene
notare che $(\pi/2-x)\tan(x)\to1$ per $x\to\pi/2$ (con Hospital o notando che $\tan(x)=\sin(x)/\cos(x)=\cos(\pi/2-x)/\sin(\pi/2-x)$ ).
Allora, facendo un confronto come nel primo caso, trovi che $tan^p(x)$ è integrabile vicino a $\frac{\pi}{2}$ se e sol se $(\pi/2 - x)^{-p}$
lo è e cioè se $-p> - 1 \Leftrightarrow p<1$. Dunque (se non mi è sfuggito qualcosa) $tan^p(x)$ è integrabile tra $0$ e $\pi/2$ se e solo se
$-1 < p < 1$. L'idea di questi esercizi è quasi sempre di confrontare l'andamento a zero (o a infinito) della funzione con una potenza.
$x^5=x^2x^3=\frac{1}{3} 3x^2 x^3$
e notando che $3x^2$ è la derivata di $x^3$ farei una sostituzione $y=x^3$ .
Per il secondo problema devi ricordare che $tan(x)/x\to1$ per $x\to 0$, che è equivalente a dire
$tan(x)=x+o(x)$. Per i criteri di confronto (asintotico) sugli integrali impropri (per funzioni positive)
$tan^p(x)$ è integrabile vicino a zero se e sol se $x^p$ lo è e cioè se $p> - 1$. Questo purtroppo non conclude la
questione dato che l'integrando è singolare anche in $\pi/2$. Per trattare l'integrabilità vicino a $\pi/2$ conviene
notare che $(\pi/2-x)\tan(x)\to1$ per $x\to\pi/2$ (con Hospital o notando che $\tan(x)=\sin(x)/\cos(x)=\cos(\pi/2-x)/\sin(\pi/2-x)$ ).
Allora, facendo un confronto come nel primo caso, trovi che $tan^p(x)$ è integrabile vicino a $\frac{\pi}{2}$ se e sol se $(\pi/2 - x)^{-p}$
lo è e cioè se $-p> - 1 \Leftrightarrow p<1$. Dunque (se non mi è sfuggito qualcosa) $tan^p(x)$ è integrabile tra $0$ e $\pi/2$ se e solo se
$-1 < p < 1$. L'idea di questi esercizi è quasi sempre di confrontare l'andamento a zero (o a infinito) della funzione con una potenza.
"ViciousGoblinEnters":
Un suggerimento che forse diminuisce i calcoli: io vedrei il numeratore come
$x^5=x^2x^3=\frac{1}{3} 3x^2 x^3$
e notando che $3x^2$ è la derivata di $x^3$ farei una sostituzione $y=x^3$ .
Per il secondo problema devi ricordare che $tan(x)/x\to1$ per $x\to 0$, che è equivalente a dire
$tan(x)=x+o(x)$. Per i criteri di confronto (asintotico) sugli integrali impropri (per funzioni positive)
$tan^p(x)$ è integrabile vicino a zero se e sol se $x^p$ lo è e cioè se $p> - 1$. Questo purtroppo non conclude la
questione dato che l'integrando è singolare anche in $\pi/2$. Per trattare l'integrabilità vicino a $\pi/2$ conviene
notare che $(\pi/2-x)\tan(x)\to1$ per $x\to\pi/2$ (con Hospital o notando che $\tan(x)=\sin(x)/\cos(x)=\cos(\pi/2-x)/\sin(\pi/2-x)$ ).
Allora, facendo un confronto come nel primo caso, trovi che $tan^p(x)$ è integrabile vicino a $\frac{\pi}{2}$ se e sol se $(\pi/2 - x)^{-p}$
lo è e cioè se $-p> - 1 \Leftrightarrow p<1$. Dunque (se non mi è sfuggito qualcosa) $tan^p(x)$ è integrabile tra $0$ e $\pi/2$ se e solo se
$-1 < p < 1$. L'idea di questi esercizi è quasi sempre di confrontare l'andamento a zero (o a infinito) della funzione con una potenza.
ti chiedo scusa vicious: chiarissima in ogni punto la tua spiegazione...non ho capito tuttavia due cose, una banale ( infatti ...perchè p dovrebbe essere >1?e la questione della tangente...con de L'Hospital o ...(perchè scrivi $pi/2-x$?)so che sono molto banali...ma mi sfuggono..ti ringrazio, alex
...perchè p dovrebbe essere >1?
Veramente mi pare di avere scritto $p> - 1$ - un cosa che DEVI sapere sugli integrali impropri (idem per le serie) è che
$|x-x_0|^p$ è integrabile in un intorno di $x_0$ esattamente se $p> -1$. Probabilmente lo avrai visto nella forma
$\frac{1}{|x-x_0|^a}$ è integrabile in un intorno di $x_0$ esattamente se $a < 1$
la questione della tangente...
non sono sicuro di capire la domanda, comunque lo scopo è analizzare cosa fa la tangente nel punto $x_0=\pi/2$.
Prima di tutto è noto che $\tan(x)\to+\infty$ se $x\to\frac{\pi}{2}^-$. Se dimostro che
$(\pi/2-x)\tan(x)\to 1$ per $x\to\frac{\pi}{2}^-$, trovo sostanzialmente che $\tan(x)\sim\frac{1}{\pi/2-x}$ e quindi
$\tan^p(x)\sim\frac{1}{(\pi/2-x)^p}$ e della seconda funzione conosco l'integrabilità vicino a $\pi/2$.
Per dimostrare che $(\pi/2-x)\tan(x)\to 1$ posso applicare Hospital (forma $0\times\infinity$) o usare le eguaglianze trigonometriche
che avevo scritto.
"ViciousGoblinEnters":...perchè p dovrebbe essere >1?
Veramente mi pare di avere scritto $p> - 1$ - un cosa che DEVI sapere sugli integrali impropri (idem per le serie) è che
$|x-x_0|^p$ è integrabile in un intorno di $x_0$ esattamente se $p> -1$. Probabilmente lo avrai visto nella forma
$\frac{1}{|x-x_0|^a}$ è integrabile in un intorno di $x_0$ esattamente se $a < 1$
la questione della tangente...
non sono sicuro di capire la domanda, comunque lo scopo è analizzare cosa fa la tangente nel punto $x_0=\pi/2$.
Prima di tutto è noto che $\tan(x)\to+\infty$ se $x\to\frac{\pi}{2}^-$. Se dimostro che
$(\pi/2-x)\tan(x)\to 1$ per $x\to\frac{\pi}{2}^-$, trovo sostanzialmente che $\tan(x)\sim\frac{1}{\pi/2-x}$ e quindi
$\tan^p(x)\sim\frac{1}{(\pi/2-x)^p}$ e della seconda funzione conosco l'integrabilità vicino a $\pi/2$.
Per dimostrare che $(\pi/2-x)\tan(x)\to 1$ posso applicare Hospital (forma $0\times\infinity$) o usare le eguaglianze trigonometriche
che avevo scritto.
ti ringrazio. sei stato molto chiaro
andrò a rivedere queste proprietà...effettivamente la teoria va studiata prima di far pratica...
gazie mille per l'aiuto, alex.
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