Calcolo integrale curvilineo forma differenziale
data la forma differenziale
$omega=(y^3-3x^2y)/(2sqrt(xy)(x^2+y^2)^2)dx+(x^3-3y^2x)/(2sqrt(xy)(x^2+y^2)^2)dy$
calcolare $int_(gamma) omega$
essendo $gamma$ la frontiera dell'insieme
${(x,y) in RR^2 : 9<=x^2+y^2<=4(x+y)-7}$
ho un dubbio nella risoluzione della seguente forma differenziale. per calcolare l'integrale curvilineo della seguente forma differenziale calcolo il dominio di $omega$. il domino risulta essere costituito dai valori appartenenti al primo e terzo quadrante escluso l'origine. segue quindi che il domino non è stellato. a questo punto mi studio l'insieme $gamma$ disegnandolo sul piano. vedo che ottengo una specie di mezzaluna interamente contenuta nel primo quadrante. quest'ultimo è un sottoinsieme stellato/semplicemente connesso del domino. Da ciò posso affermare che la forma differenziale è esatta se e solo se è chiusa. posso affermare con certezza che ammette potenziale in virtù di un teorema. l'integrale dato può essere quindi ottenuto da $int_(gamma) omega=U(gamma(b))-U(gamma(a))$ dove $a,b$ rispettivamente punto iniziale e punto finale della curva. il mio problema sta nell'individuare questi due punti. quali sono?
[Edit]
altra ipotesi risolutiva:
dato che la frontiera $gamma$ dell'insieme è una curva chiusa posso certamente dire che l'integrale curvilineo lunga una superficie chiusa è $0$ da ciò giungere alla conclusione che $int_(gamma) omega=0$. Basta quindi dimostrare che $(partialX)/(partialy)=(partialY)/(partialx)$ per giungere alla conclusione che $int_(gamma) omega=0$
$omega=(y^3-3x^2y)/(2sqrt(xy)(x^2+y^2)^2)dx+(x^3-3y^2x)/(2sqrt(xy)(x^2+y^2)^2)dy$
calcolare $int_(gamma) omega$
essendo $gamma$ la frontiera dell'insieme
${(x,y) in RR^2 : 9<=x^2+y^2<=4(x+y)-7}$
ho un dubbio nella risoluzione della seguente forma differenziale. per calcolare l'integrale curvilineo della seguente forma differenziale calcolo il dominio di $omega$. il domino risulta essere costituito dai valori appartenenti al primo e terzo quadrante escluso l'origine. segue quindi che il domino non è stellato. a questo punto mi studio l'insieme $gamma$ disegnandolo sul piano. vedo che ottengo una specie di mezzaluna interamente contenuta nel primo quadrante. quest'ultimo è un sottoinsieme stellato/semplicemente connesso del domino. Da ciò posso affermare che la forma differenziale è esatta se e solo se è chiusa. posso affermare con certezza che ammette potenziale in virtù di un teorema. l'integrale dato può essere quindi ottenuto da $int_(gamma) omega=U(gamma(b))-U(gamma(a))$ dove $a,b$ rispettivamente punto iniziale e punto finale della curva. il mio problema sta nell'individuare questi due punti. quali sono?
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altra ipotesi risolutiva:
dato che la frontiera $gamma$ dell'insieme è una curva chiusa posso certamente dire che l'integrale curvilineo lunga una superficie chiusa è $0$ da ciò giungere alla conclusione che $int_(gamma) omega=0$. Basta quindi dimostrare che $(partialX)/(partialy)=(partialY)/(partialx)$ per giungere alla conclusione che $int_(gamma) omega=0$
Risposte
tenendo conto delle considerazioni sugli insiemi semplicemente connessi, verificherei anch'io se sia una forma chiusa e quindi esatta. se sei fortunato il lavoro è appunto nullo
"enr87":
tenendo conto delle considerazioni sugli insiemi semplicemente connessi, verificherei anch'io se sia una forma chiusa e quindi esatta. se sei fortunato il lavoro è appunto nullo
ah bene bene. allora basta verificare il tutto.invece ho un altro dubbio.se ho una forma differenziale $omega=Xdx+Ydy$ e devo calcolare $int_(gamma) omega$ dove $gamma$ è la frontiera $[-1,1]$ x $[-1,1]$ occorre che mi parametrizzo la frontiera in modo da avere come risultato le equazione parametriche della frontiera oppure dico che dato che la frontiera è costituita da un quadrato allora segue che l'integrale curvilineo lungo una curva chiusa è nullo se e solo se $omega$ è esatta? cioè se non sbaglio le equazioni parametriche mi servono solamente se devo calcolare il potenziale.
allora, prima un paio di cose di teoria (così risolviamo la seconda domanda), poi torno un attimo sulla prima domanda perchè qualcosa non mi torna a ripensarci.
1a) due circuiti sono omotopi se puoi "deformarne" uno in maniera "continua" ed ottenere l'altro.. detto terra terra.
1b) dato un insieme E aperto connesso (non semplicemente), se due circuiti sono omotopi e la forma differenziale definita in E è chiusa, si dimostra che il lavoro calcolato su un circuito è equivalente a quello calcolato sull'altro
da 1b) ricavi che se un circuito è omotopo ad un punto (cioè se il circuito si trova in un insieme semplicemente connesso), allora il lavoro calcolato su quel circuito deve essere nullo.
quindi, per rispondere alla seconda domanda, hai 2 possibilità: la prima è guardare dove viene definita la forma differenziale, vedere se sei in un semplicemente connesso e se la forma è chiusa (allora sai che è esatta), e dunque il lavoro è nullo. la seconda (che sfrutti nel caso non sei in un semplicemente connesso) è vedere se la forma è chiusa (condizione necessaria perchè sia esatta), ed eventualmente provare a vedere se ha un potenziale associato.
nel caso entrambe ti vadano storte, e quindi la forma differenziale non è esatta (forza non conservativa), allora devi calcolare il lavoro parametrizzando la curva e usando l'ntegrale di seconda specie.
per quanto riguarda la prima domanda, fai attenzione perchè così ad occhio non mi pare scontato che l'insieme di definizione di $\omega$ sia semplicemente connesso (infatti non è definita per $xy <= 0$, quindi nel II e IV quadrante, assi compresi). ho visto che sopra l'hai scritto ma non vorrei aver svalutato questo aspetto nella risposta che ti ho dato prima.
1a) due circuiti sono omotopi se puoi "deformarne" uno in maniera "continua" ed ottenere l'altro.. detto terra terra.
1b) dato un insieme E aperto connesso (non semplicemente), se due circuiti sono omotopi e la forma differenziale definita in E è chiusa, si dimostra che il lavoro calcolato su un circuito è equivalente a quello calcolato sull'altro
da 1b) ricavi che se un circuito è omotopo ad un punto (cioè se il circuito si trova in un insieme semplicemente connesso), allora il lavoro calcolato su quel circuito deve essere nullo.
quindi, per rispondere alla seconda domanda, hai 2 possibilità: la prima è guardare dove viene definita la forma differenziale, vedere se sei in un semplicemente connesso e se la forma è chiusa (allora sai che è esatta), e dunque il lavoro è nullo. la seconda (che sfrutti nel caso non sei in un semplicemente connesso) è vedere se la forma è chiusa (condizione necessaria perchè sia esatta), ed eventualmente provare a vedere se ha un potenziale associato.
nel caso entrambe ti vadano storte, e quindi la forma differenziale non è esatta (forza non conservativa), allora devi calcolare il lavoro parametrizzando la curva e usando l'ntegrale di seconda specie.
per quanto riguarda la prima domanda, fai attenzione perchè così ad occhio non mi pare scontato che l'insieme di definizione di $\omega$ sia semplicemente connesso (infatti non è definita per $xy <= 0$, quindi nel II e IV quadrante, assi compresi). ho visto che sopra l'hai scritto ma non vorrei aver svalutato questo aspetto nella risposta che ti ho dato prima.
"enr87":
allora, prima un paio di cose di teoria (così risolviamo la seconda domanda), poi torno un attimo sulla prima domanda perchè qualcosa non mi torna a ripensarci.
1a) due circuiti sono omotopi se puoi "deformarne" uno in maniera "continua" ed ottenere l'altro.. detto terra terra.
1b) dato un insieme E aperto connesso (non semplicemente), se due circuiti sono omotopi e la forma differenziale definita in E è chiusa, si dimostra che il lavoro calcolato su un circuito è equivalente a quello calcolato sull'altro
da 1b) ricavi che se un circuito è omotopo ad un punto (cioè se il circuito si trova in un insieme semplicemente connesso), allora il lavoro calcolato su quel circuito deve essere nullo.
quindi, per rispondere alla seconda domanda, hai 2 possibilità: la prima è guardare dove viene definita la forma differenziale, vedere se sei in un semplicemente connesso e se la forma è chiusa (allora sai che è esatta), e dunque il lavoro è nullo. la seconda (che sfrutti nel caso non sei in un semplicemente connesso) è vedere se la forma è chiusa (condizione necessaria perchè sia esatta), ed eventualmente provare a vedere se ha un potenziale associato.
nel caso entrambe ti vadano storte, e quindi la forma differenziale non è esatta (forza non conservativa), allora devi calcolare il lavoro parametrizzando la curva e usando l'ntegrale di seconda specie.
per quanto riguarda la prima domanda, fai attenzione perchè così ad occhio non mi pare scontato che l'insieme di definizione di $\omega$ sia semplicemente connesso (infatti non è definita per $xy <= 0$, quindi nel II e IV quadrante, assi compresi). ho visto che sopra l'hai scritto ma non vorrei aver svalutato questo aspetto nella risposta che ti ho dato prima.
l'insieme di definizione di $omega$ del primo topic non è connesso infatti la forma differenziale è definita nel I e III quadrante escluso il punto d'origine ma i punti della frontiera $gamma$ sono tutti contenuti nel sottoinsieme $x>0$ e $y>0$ ovvero nel primo quadrante che è un sottoinsieme stellato del dominio.
certo, giustamente hai osservato che $\gamma$ fosse in un sottoinsieme del dominio semplicemente connesso . una curiosità: come hai fatto a verificarlo? (io avevo pensato di farlo vedere guardando dove sono le intersezioni del paraboloide con entrambi i piani, ma forse c'è qualcosa di più semplice)
"enr87":
certo, giustamente hai osservato che $\gamma$ fosse in un sottoinsieme del dominio semplicemente connesso . una curiosità: come hai fatto a verificarlo?
ho semplicemente rappresentato graficamente la frontiera $gamma$ composta da due circonferenze.una centrata nell'origine con raggio $3$ ed un'altra di raggio $1$ di centro $(2,2)$ ottenendo poi così una sorta di mezzaluna che è interamente contenuta nel primo quadrante
in questo caso ho
$omega=(x[2+log(x^2+y^2)])/sqrt(x^2+y^2)dx+(y[2+log(x^2+y^2)])/sqrt(x^2+y^2)dy$
calcolare $int_(gamma) omega$ dove $gamma$ è la frontiera $[-1,1]$ x $[-1,1]$.
in questo caso mi trovo in un insieme non semplicemente connesso dato che il punto $(0,0)$ è contenuto nella frontiera.quindi come dicevi te enr87 vedo se la condizione necessaria di esattezza viene soddisfatta quindi vedo se è chiuso e subito dopo vedo se ammette potenziale. se queste due cose sono verificate allora il suddetto integrale è nullo.
$omega=(x[2+log(x^2+y^2)])/sqrt(x^2+y^2)dx+(y[2+log(x^2+y^2)])/sqrt(x^2+y^2)dy$
calcolare $int_(gamma) omega$ dove $gamma$ è la frontiera $[-1,1]$ x $[-1,1]$.
in questo caso mi trovo in un insieme non semplicemente connesso dato che il punto $(0,0)$ è contenuto nella frontiera.quindi come dicevi te enr87 vedo se la condizione necessaria di esattezza viene soddisfatta quindi vedo se è chiuso e subito dopo vedo se ammette potenziale. se queste due cose sono verificate allora il suddetto integrale è nullo.
intanto grazie perchè mi ero appannato su quel particolare 
nel punto (0,0) la forma differenziale non è definita, allora devi vedere se è esatta in qualche altro modo.
tieni conto che se vedi che integrare così è troppo incasinato potresti prendere un'altra via, ossia calcolare direttamente il lavoro su quel quadrato. si tratta di vedere cos'è più semplice fare..
nel punto (0,0) la forma differenziale non è definita, allora devi vedere se è esatta in qualche altro modo.
tieni conto che se vedi che integrare così è troppo incasinato potresti prendere un'altra via, ossia calcolare direttamente il lavoro su quel quadrato. si tratta di vedere cos'è più semplice fare..
mmm..stavo pensando che quel quadrato è omotopo ad una circonferenza di raggio 1 e centro l'origine, che puoi parametrizzare come (cos(t), sen(t)). in teoria l'integrazione dovrebbe venire più semplcie così, quindi calcola il lavoro lungo questa circonferenza se hai difficoltà
"enr87":
mmm..stavo pensando che quel quadrato è omotopo ad una circonferenza di raggio 1 e centro l'origine, che puoi parametrizzare come (cos(t), sen(t)). in teoria l'integrazione dovrebbe venire più semplcie così, quindi calcola il lavoro lungo questa circonferenza se hai difficoltà
figurati di che siamo qui proprio per aiutarci a vicenda.ma scusami non sto capendo una cosa: mi devo calcolare effettivamente l'integrale?nel senso non basta che dica che l'insieme non è semplicemente connesso allora provo a vedere se è chiusa. se è chiusa provo a vedere se ammette un potenziale.se esiste un potenziale allora è esatta e quindi il lavoro è nullo.
sì, puoi tranquillamente fare così. ma potrebbe essere complicato perchè vedo dei termini quadratici che mi fanno pensare ad una sostituzione in qualche modo: capita a piombo il lavoro calcolato sulla circonferenza di raggio 1, perchè allora x^2 + y^2 = cos^2(t) + sin^2(t) = 1. in questo modo sfruttando l'omotopia tra il quadrato e la circonferenza (a patto che $omega$ sia chiusa) hai che il lavoro deve essere uguale (c'è un teorema che te l'assicura). se il lavoro è nullo, la forma è esatta.. non so, fai una prova. io ora torno a studiare e ritorno qua stasera 
[edit] ho appena modificato
[edit] ho appena modificato
"enr87":
sì, puoi tranquillamente fare così. ma potrebbe essere complicato perchè vedo dei termini quadratici che mi fanno pensare ad una sostituzione in qualche modo: capita a piombo il lavoro calcolato sulla circonferenza di raggio 1, perchè allora x^2 + y^2 = cos^2(t) + sin^2(t) = 1. in questo modo sfruttando l'omotopia tra il quadrato e la circonferenza (a patto che $omega$ sia chiusa) hai che il lavoro deve essere uguale (c'è un teorema che te l'assicura). se il lavoro è nullo, la forma è esatta.. non so, fai una prova. io ora torno a studiare e ritorno qua stasera
[edit] ho appena modificato
ho appena fatto i passaggi che mi hai consigliato te.l'integrale curvilineo lungo la circonferenza viene banalissimo e viene appunto zero.quindi sfruttando l'omotopia otteniamo che la forma differenziale è esatta
prima avevi verificato che fosse chiusa vero?
"enr87":
prima avevi verificato che fosse chiusa vero?
si si certo.la forma differenziale è chiusa
perfetto, allora pare che abbiamo risolto
"enr87":
perfetto, allora pare che abbiamo risolto
perfetto grande enr87 mi hai aiutato oggi tanto.ti ringrazio .magari se ci sarà qualche altro esercizio in questi giorni lo posto così magari vediamo se possiamo risolverlo insieme.
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