Calcolo integrale curvilineo

[claudio_p88]

Ho il seguente integrale \(\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{(1+z)(sinz)^2}dz\) dove \(\displaystyle \gamma \) é la curva definita da \(\displaystyle |z| = \frac{1}{2} \) , ho proceduto in questo modo:
\(\displaystyle f(z) =\frac{1}{(1+z)(sinz)^2} \) presenta singolarità dove il denominatore è nullo, quindi in \(\displaystyle z_1 = 1 \) e in \(\displaystyle z_2 = k\pi \), ora la curva \(\displaystyle \gamma \) è la circonferenza di centro \(\displaystyle z = 0 \) e di raggio 1/2, quindi l'unico punto che cade internamente alla circonferenza è il punto \(\displaystyle z = 0 \) tale punto è un polo di secondo ordine, dalla definizione: \(\displaystyle f_1(z) = (sinz)^2 \) \(\displaystyle f'(z) = 2sinzcosz|_{z =0}=0 \) \(\displaystyle f''(z) = 2(cosz)^2-(sinz)^2 |_{z=0}=2\), quindi per risolvere l'integrale applico il teorema dei residui, avrò quindi che \(\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{(1+z)(sinz)^2}dz = 2\pi iRes(f(z),0)\), ora qui ho qualche difficoltà nel calcolo del residuo, ho comunque proceduto così: ho che \(\displaystyle Res(f(z),0)=lim_{z=0}\frac{d}{dz}[\frac{z^2}{(1+z)(sinz)^2}]\), procediamo prima con il calcolo della derivata \(\displaystyle \frac{d}{dz}[\frac{z^2}{(1+z)(sinz)^2}] =\frac{2z(1+z)(sinz)^2-(z^2(2z+2)(sinz)^2+(1+z)^2(2sinzcosz))}{(1+z)^2(sinz)^4}\), vorrei sapere innanzitutto se commetto errore nel calcolo della derivata prima di procedere.

[claudio_p88]

Mi correggo il residuo dovrebbe esserre \(\displaystyle Res(f(z),0)=lim_{z\to0)}\frac{d}{dz}[\frac{1}{1+z}]\) quindi \(\displaystyle \frac{d}{dz} \frac{1}{1+z}= \frac{(-z-1)}{(1+z)^2}=\frac{-1}{(1+z)}\) ora \(\displaystyle \lim_{z\to 0}\frac{-1}{(1+z)}=-1 \), quindi l'integrale è uguale a \(\displaystyle 2\pi i(-1) = -2\pi i\), aspetto che qualcuno mi dia conferma.

[poncelet]

A me sembra che la formula giusta per il calcolo del residuo in \(z=0\) sia quella del tuo primo post. Secondo me hai anche sbagliato la derivata (forse potrebbe semplificarti la vita ricordare che $\frac{1}{\sin^{2}(z)}=\csc^{2}(z)$.

EDIT il residuo viene anche a me uguale a $-1$

[claudio_p88]

sì hai ragione, quindi \(\displaystyle \frac{d}{dz}\frac{csc^2(z)}{1+z}= \frac{-2ctg(z)csc(z)(1+z)-(csc^2(z)(2z+2)}{(1+z)^2} \) che semplificando dovrebbe essere uguale a \(\displaystyle \frac{-2(ctg(z)csc(z)-csc^2(z)}{1+z} \), quello che ora non mi è chiaro è se z tende a 0, come fà a venirti -1 se \(\displaystyle csc(z) \) non è definita in 0?