Calcolo integrale curvilineo
La domanda è la seguente (visto che non c’è corrispondenza con gli esempi) e riguarda il calcolo dell'integrale curvilineo, non riesco a capire perchè il valore del calcolo non dipende, cioè lo $ int f(phi(t))│phi' (t)│dt$ è indipendente dalla rappresentazione parametrica considerata e DAL VERSO da essa indotto su gamma. I testi riportano che questo discende da come è definito tale integrale, aspetto tutt'altro che chiaro per me (almeno per me). Elenco successivamente una serie di tentativi di spiegazioni che ho avanzato, spero qualcuno possa darmi un valido aiuto dato che finora non ho trovato soluzione chiara.
Il tutto è riferito ad un integrale curvilineo di prima specie.
il valore del calcolo è indipendente dal verso percorso, vuol dire che:
a)È la parametrizzazione che “slega” l’integrale dal sistema di riferimento. In altri termini mentre le variabili cartesiane sono legate al verso indotto sugli assi cartesiani, con l’entrata in gioco di un parametro il verso di percorrenza è sempre quello positivo. Però gli esempi dimostrano il contrario.
b)È un sistema di riferimento obbligato al verso di percorrenza, cioè in pratica sempre concorde a tale verso e quindi sempre positivo;
c)L’area calcolata con l’integrale è indipendente dal verso scelto sulla curva $gamma$, come si legge. In pratica, fissato un verso sulla curva γ, se percorro tale curva in quel verso per il calcolo dell’integrale con la funzione supposta positiva nel sistema cartesiano x,y,z, allora ottengo un valore positivo. Viceversa nel verso opposto, cioè se percorro la curva nel verso contrario a quello fissato, allora il dx è negativo [d(-x)=-dx] e anche il valore della funzione è negativo, quindi il tutto rimane invariato. Però non si comprende bene perché lo stesso non vale per l’integrale ordinario, dato che il curvilineo rappresenta una generalizzazione, e come mai gli esempi mostrano il contrario.
d)Altro (nel senso che non ho capito un tubo).
Il tutto è riferito ad un integrale curvilineo di prima specie.
il valore del calcolo è indipendente dal verso percorso, vuol dire che:
a)È la parametrizzazione che “slega” l’integrale dal sistema di riferimento. In altri termini mentre le variabili cartesiane sono legate al verso indotto sugli assi cartesiani, con l’entrata in gioco di un parametro il verso di percorrenza è sempre quello positivo. Però gli esempi dimostrano il contrario.
b)È un sistema di riferimento obbligato al verso di percorrenza, cioè in pratica sempre concorde a tale verso e quindi sempre positivo;
c)L’area calcolata con l’integrale è indipendente dal verso scelto sulla curva $gamma$, come si legge. In pratica, fissato un verso sulla curva γ, se percorro tale curva in quel verso per il calcolo dell’integrale con la funzione supposta positiva nel sistema cartesiano x,y,z, allora ottengo un valore positivo. Viceversa nel verso opposto, cioè se percorro la curva nel verso contrario a quello fissato, allora il dx è negativo [d(-x)=-dx] e anche il valore della funzione è negativo, quindi il tutto rimane invariato. Però non si comprende bene perché lo stesso non vale per l’integrale ordinario, dato che il curvilineo rappresenta una generalizzazione, e come mai gli esempi mostrano il contrario.
d)Altro (nel senso che non ho capito un tubo).
Risposte
Il messaggio potrebbe essere più leggibile, evita di scrivere frasi tra i simboli del dollaro.
Ti mostro un esempio che forse può esserti utili:
abbiamo una curva $\gamma$ di equazioni:
$x(t)=cos(t)$ e $y(t)=sen(t)$ con $t\in[0,2\pi]$, quindi la circonferenza è percorsa in senso antiorario.
L' integ curvilineo di 1a specie $\int_{\gamma} dl$ per definizione è uguale a $\int_{a}^b |\vec \tau|dt$
$|\vec \tau|=sqrt(x'^2(t)+y'^2(t))=sqrt((-sent)^2+(cost)^2)=1$
A questo punto considera la stessa circonferenza, percorsa in senso orario, cioè
con $x(t)=sen(t)$ e $y(t)=cos(t)$, e come prima $t\in[0,2\pi]$
Ora se ti calcoli il modulo del vettore tangente ti verrà nuovamente $1$, proprio perchè
la lunghezza della curva non è cambiata.
Ti mostro un esempio che forse può esserti utili:
abbiamo una curva $\gamma$ di equazioni:
$x(t)=cos(t)$ e $y(t)=sen(t)$ con $t\in[0,2\pi]$, quindi la circonferenza è percorsa in senso antiorario.
L' integ curvilineo di 1a specie $\int_{\gamma} dl$ per definizione è uguale a $\int_{a}^b |\vec \tau|dt$
$|\vec \tau|=sqrt(x'^2(t)+y'^2(t))=sqrt((-sent)^2+(cost)^2)=1$
A questo punto considera la stessa circonferenza, percorsa in senso orario, cioè
con $x(t)=sen(t)$ e $y(t)=cos(t)$, e come prima $t\in[0,2\pi]$
Ora se ti calcoli il modulo del vettore tangente ti verrà nuovamente $1$, proprio perchè
la lunghezza della curva non è cambiata.
Questo tipo di integrale di linea è quello (IMHO) più semplice da capire. In pratica stai calcolando un integrale su un intervallo, solo che l'intervallo può anche non essere un filino bello stirato sulla retta reale, ma un filino svolazzante nello spazio, eventualmente anche tutto contorto. Per il resto è tutto uguale: i "contributi infinitesimi" all'integrale sono i $f(phi(t))ds$, ovvero il prodotto tra il valore che $f$ assume nel punto $phi(t)$ del filino e l'elemento di lunghezza $ds$, dove nell'integrale su un intervallo si aveva $f(x)dx$, esattamente la stessa cosa. Valgono quindi le considerazioni del tuo punto c), naturalmente qui parliamo a livello di chiacchiera e non di dimostrazione rigorosa.
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