Calcolo integrale curvilineo

[floppyes]

Ciao a tutti!

Nonostante abbia rifatto l'esercizio cinque volte non riesco proprio a capire dove sia l'errore

Sia F un campo vettoriale definito da:
$ F(x,y)=y/(1+xy)i_1+(x/(1+xy)+y-7)i_2 $
e sia $I_beta$ l'integrale curvilineo di F lungo il segmento di estermi $ A=(2,0)$ e $B=(0,beta)$ percorso da A verso B. Trovare $beta$ in modo che $I_beta$ sia minimo. (con $beta$ che appartiene ad $R^+$)

Per prima cosa ho controllato che il campo sia conservativo con l'uguaglianza delle derivate in croce (sono uguali quindi conservativo).

Ho poi calcolato il potenziale.. quindi:
$ { ( intF_1dx ),( intF_2dy ):} $

cioè:
$ { ( ln(1+xy)+c_1 ),( ln(1+xy)+y^2/2-7y+c_2 ):} $

Quindi il potenziale risulta:
$ln(1+xy)+y^2/2-7y$

Adesso sostituisco i valori dei miei punti:
$ varphi (0,beta)-varphi (2,0) $

E quindi risulta:
$ beta^2/2-7beta $

Allora l'integrale curvilineo sarà minimo con $beta=0$ e $beta=14$

Invece il risultato corretto è $beta=7$

Riuscite a dirmi dove ho sbagliato?

Grazie mille!
Ciaoo

[gugo82]

"TeM":Innanzitutto sottolineo un fatto molto importante: l'uguaglianza delle derivate in croce è una condizione necessaria ma non sufficiente per dire che un campo vettoriale è conservativo. Perché tale condizione sia sufficiente bisogna accoppiarci la condizione di dominio semplicemente connesso del campo vettoriale stesso. In questo caso evidentemente ciò non è possibile, dunque una volta verificata l'uguaglianza delle derivate in croce è possibile che esista un potenziale ma non ne siamo sicuri. Per scoprirlo non c'è altra via che provare a determinarlo come hai ben fatto.

In realtà il campo è conservativo nella parte di \(\mathbb{R}^2\) che interessa per la soluzione del problema.

Infatti il campo è definito in \(X:=\mathbb{R}^2\setminus \Gamma\), ove \(\Gamma\) è l'iperbole equilatera di equazione \(xy=-1\) (quindi ha come asintoti gli assi ed i suoi due rami sono nel secondo e quarto quadrante).
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("-1/x",-6,0); plot("-1/x",0,6);[/asvg]
L'insieme \(X\) è costituito da tre componenti connesse (come si vede dal grafico) ed il campo è conservativo in ognuna di esse perché vi soddisfa la "condizione delle derivate in croce".
Dato che \(\beta >0\), i segmenti lungo i quali calcolare l'integrale curvilineo sono tutti contenuti nella componente connessa di \(X\) che contiene gli assi; quindi è possibile restringere le considerazioni sul campo a tale componente, diciamola \(X_0\).
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("-1/x",-6,0); plot("-1/x",0,6);
stroke="blue"; line([2,0],[0,5.25]); stroke="dodgerblue"; line([2,0],[0,4]); stroke="cyan"; line([2,0],[0,2]); stroke="lightblue"; line([2,0],[0,0.5]);[/asvg]
Dato che in \(X_0\) il campo è conservativo, vale il Teorema Fondamentale del Calcolo per le forme differenziali e ciò importa:
\[
\int_{I_\beta} F_1(x,y)\ \text{d} x + F_2(x,y)\ \text{d} y = U(0,\beta)-U(2,0)
\]
i cui \(U\) è un qualsiasi potenziale di \(F\).
Detto ciò, l'esercizio è terminato: infatti si vede ad occhio che \(U(x,y)=\log|1+xy|+\frac{1}{2} y^2-7y\) ed il calcolo del minimo è un problema di Analisi I.

[floppyes]

Cavolo grazie mille

Mi ero proprio dimenticato di studiare il minimo

Bastava fare la derivata dell'integrale, porla maggiore di zero e si vede subito che in $beta=7$ c'è il minimo.

Grazie mille
Ciaoo