Calcolo integrale curva
Devo svolgere un esercizio e non so bene come iniziare : considerò la curva piana $\gamma$ la cui forma polare è p=1+3cos$\theta$ con $\theta$$in$[0 ,$\pi$]. calcolare $\int_gamma sin theta ds $ grazie in anticipo
Risposte
Il forum prevede dei tentativi da parte dell'utente. Prova a partire dalla definizione di integrale curvilineo.
Il problema è che non so iniziar , verificò che è regolare facendo la derivata prima, e poi? Grazie in anticipo
Ti pregherei di non scrivere agli utenti in PM per sollecitare la risposta.
Detto questo, una curva piana regolare è una mappa \(\displaystyle \mathbf{r}\colon I\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 \) con derivata ovunque non nulla. Quale sarebbe esattamente \(\displaystyle \gamma \)? Devo supporre che il p sia in realtà un \(\displaystyle \rho \) (la lettera greca per la r) e che quindi la curva sia \(\displaystyle \gamma\colon [0, \pi]\mapsto S^1\times\mathbb{R}^{+} \) definita come \(\displaystyle \vartheta(t) = t \) e \(\displaystyle \rho(t) = 1+3\cos\vartheta(t) = 1 + 3\cos t \)?
In ogni caso tu hai che:
\(\displaystyle \int_{\gamma} \sin \vartheta\ ds = \int_{0}^{\pi}\sin t\lVert \gamma' \rVert\ dt \)
perciò devi scrivere per bene la derivata e la sua lunghezza e poi ti rimane da calcolare un integrale ad una sola variabile.
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Le formule non servono solo per ciò che non sai come scrivere ma tutta la formula andrebbe formattata per bene e in modo uniforme. Anche solo per distinguerla dal testo. Grazie.
Detto questo, una curva piana regolare è una mappa \(\displaystyle \mathbf{r}\colon I\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 \) con derivata ovunque non nulla. Quale sarebbe esattamente \(\displaystyle \gamma \)? Devo supporre che il p sia in realtà un \(\displaystyle \rho \) (la lettera greca per la r) e che quindi la curva sia \(\displaystyle \gamma\colon [0, \pi]\mapsto S^1\times\mathbb{R}^{+} \) definita come \(\displaystyle \vartheta(t) = t \) e \(\displaystyle \rho(t) = 1+3\cos\vartheta(t) = 1 + 3\cos t \)?
In ogni caso tu hai che:
\(\displaystyle \int_{\gamma} \sin \vartheta\ ds = \int_{0}^{\pi}\sin t\lVert \gamma' \rVert\ dt \)
perciò devi scrivere per bene la derivata e la sua lunghezza e poi ti rimane da calcolare un integrale ad una sola variabile.
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Le formule non servono solo per ciò che non sai come scrivere ma tutta la formula andrebbe formattata per bene e in modo uniforme. Anche solo per distinguerla dal testo. Grazie.
"vict85":
Ti pregherei di non scrivere agli utenti in PM per sollecitare la risposta.
Detto questo, una curva piana regolare è una mappa \(\displaystyle \mathbf{r}\colon I\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 \) con derivata ovunque non nulla. Quale sarebbe esattamente \(\displaystyle \gamma \)? Devo supporre che il p sia in realtà un \(\displaystyle \rho \) (la lettera greca per la r) e che quindi la curva sia \(\displaystyle \gamma\colon [0, \pi]\mapsto S^1\times\mathbb{R}^{+} \) definita come \(\displaystyle \vartheta(t) = t \) e \(\displaystyle \rho(t) = 1+3\cos\vartheta(t) = 1 + 3\cos t \)?
In ogni caso tu hai che:
\(\displaystyle \int_{\gamma} \sin \vartheta\ ds = \int_{0}^{\pi}\sin t\lVert \gamma' \rVert\ dt \)
perciò devi scrivere per bene la derivata e la sua lunghezza e poi ti rimane da calcolare un integrale ad una sola variabile.
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Le formule non servono solo per ciò che non sai come scrivere ma tutta la formula andrebbe formattata per bene e in modo uniforme. Anche solo per distinguerla dal testo. Grazie.
Ti ringrazio molto per la risposta e mi scuso per il pm l'integrala da svolgere quindi è questo?
$3\int_{0}^{\pi}\sin t(sqrt(sin^2t)) dt $
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