Calcolo integrale con parametro a

[Esy59]

Ciao,
Ho questo esercizio
Calcolare il valore del seguente integrale con $a $ che appartiene a $RR^+$ , $a!=1$
$\int (16a^x)/(3a^(2x)+8a^x+4) dx $
Devi procedere come un normale integrale e successivamente trovare i valori di $a $????
Non saprei proprio come procedere ... mi aiutereste per favore?? Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao Esy59,

Ponendo $t := a^x \implies dt = a^x ln a dx = t ln a dx $ l'integrale proposto si trasforma nell'integrale di una funzione razionale.

[killing_buddha]

Forse si fa per sostituzione: $a^x=t \to x = \log_a t$, sicché $dx = \lambda\frac{dt}{t}$ ($\lambda$ è una costante che non ho voglia di calcolare). A questo punto è chiaro che l'integranda diventa una funzione razionale di $t$.

[killing_buddha]

Battuto sul tempo

[pilloeffe]

No problem, poi siamo in perfetta sintonia...

[pilloeffe]

Beh, visto che per qualche motivo Esy59 non risponde, lo svolgo così faccio un po' di esercizio...

Accogliendo il suggerimento di killing_buddha e di me stesso, si ha:

$ int (16a^x)/(3a^(2x)+8a^x+4) dx = frac{16}{ln a} int frac{dt}{3t^2 + 8t + 4} = frac{16}{ln a} int frac{dt}{(3t + 2)(t + 2)} = $
$ = frac{16}{ln a} [int frac{3dt}{4(3t + 2)} - int frac{dt}{4(t + 2)}] = frac{4}{ln a} [int frac{3dt}{3t + 2} - int frac{dt}{t + 2}] = $
$ = frac{4}{ln a} [int frac{3dt}{3t + 2} - int frac{dt}{t + 2}] = frac{4}{ln a} (ln|3t + 2| - ln|t + 2|) + c $

Ricordando che $ t := a^x $, in definitiva si ha:

$ int (16a^x)/(3a^(2x)+8a^x+4) dx = frac{4}{ln a} [ln(3a^x + 2) - ln(a^x + 2)] + c qquad qquad a \in \RR^+, a \ne 1 $