Calcolo integrale con metodo dei residui
Ciao a tutti, non riesco a capire un passaggio nel calcolo di un integrale con il metodo dei residui, si tratta dell'esercizio 26 di queste ottime dispense http://www.mat.uniroma2.it/%7Etauraso/Online2/AC-E.pdf
Le tre singolarità nelle curva dovrebbero essere di ordine uno giusto? Come calcola il residuo di $1/(z^6+1)$ passando ad $1/(6z^5)$ ? (Seconda uguaglianza per intenderci)
Grazie mille della gentilezza
Le tre singolarità nelle curva dovrebbero essere di ordine uno giusto? Come calcola il residuo di $1/(z^6+1)$ passando ad $1/(6z^5)$ ? (Seconda uguaglianza per intenderci)
Grazie mille della gentilezza
Risposte
Certo che i poli sono tutti semplici: il polinomio a denominatore, diciamolo \(D(z)\), ha tutti zeri semplici nelle radici di $-1$ ed il numeratore \(N(z)\) non si annulla in tali punti.
Per quanto riguarda il calcolo dei residui, o lo fai con la definizione, o ricordi che in situazioni come quella in analisi si può usare la formuletta semplificata \(\frac{N(z_0)}{D^\prime (z_0)}\) (che poi sempre dalla definizione vien fuori).
Per quanto riguarda il calcolo dei residui, o lo fai con la definizione, o ricordi che in situazioni come quella in analisi si può usare la formuletta semplificata \(\frac{N(z_0)}{D^\prime (z_0)}\) (che poi sempre dalla definizione vien fuori).
Ma perché essendo di ordine uno devo derivare comunque? Non capisco come venga fuori quel $6$ al denominatore! La formula non direbbe questo (omettendo la derivata quindi anche il fattoriale dato che zero fattoriale è uguale ad uno e considerando $z'$ una singolarità): $f(z)(z-z')$ ?
Il residuo in un polo d'ordine \(1\) si calcola facendo:
\[
\operatorname{Res} (f;z_0):=\lim_{z\to z_0} (z-z_0)\ f(z)\; .
\]
Supponi, adesso, che \(f(z)=\frac{N(z)}{D(z)}\) (con \(N\), \(D\) olomorfe intorno a \(z_0\)), che \(N(z_0)\neq 0\) e che \(D(z_0)=0\): affinché \(z_0\) sia un polo d'ordine \(1\) per \(f\) è necessario e sufficiente che \(z_0\) sia uno zero d'ordine \(1\) per \(D(z)\), ossia che risulti \(D^\prime (z_0)\neq 0\) (per definizione di ordine di uno zero!); allora con una semplice manipolazione del limite di cui sopra si trova:
\[
\begin{split}
\operatorname{Res} (f;z_0) &= \lim_{z\to z_0} (z-z_0)\ \frac{N(z)}{D(z)}\\
&= \lim_{z\to z_0} (z-z_0)\ \frac{N(z)}{D(z)-D(z_0)} \\
&= \lim_{z\to z_0} \frac{N(z)}{\frac{D(z) -D(z_0)}{z-z_0}} \\
&= \frac{N(z_0)}{D^\prime (z_0)}\\
&= \frac{N(z)}{D^\prime (z)}\Bigg|_{z=z_0}\; ,
\end{split}
\]
come asserisce il foglio di esercizi.
\[
\operatorname{Res} (f;z_0):=\lim_{z\to z_0} (z-z_0)\ f(z)\; .
\]
Supponi, adesso, che \(f(z)=\frac{N(z)}{D(z)}\) (con \(N\), \(D\) olomorfe intorno a \(z_0\)), che \(N(z_0)\neq 0\) e che \(D(z_0)=0\): affinché \(z_0\) sia un polo d'ordine \(1\) per \(f\) è necessario e sufficiente che \(z_0\) sia uno zero d'ordine \(1\) per \(D(z)\), ossia che risulti \(D^\prime (z_0)\neq 0\) (per definizione di ordine di uno zero!); allora con una semplice manipolazione del limite di cui sopra si trova:
\[
\begin{split}
\operatorname{Res} (f;z_0) &= \lim_{z\to z_0} (z-z_0)\ \frac{N(z)}{D(z)}\\
&= \lim_{z\to z_0} (z-z_0)\ \frac{N(z)}{D(z)-D(z_0)} \\
&= \lim_{z\to z_0} \frac{N(z)}{\frac{D(z) -D(z_0)}{z-z_0}} \\
&= \frac{N(z_0)}{D^\prime (z_0)}\\
&= \frac{N(z)}{D^\prime (z)}\Bigg|_{z=z_0}\; ,
\end{split}
\]
come asserisce il foglio di esercizi.
Ti ringrazio, chiarissimo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo