Calcolo integrale attraverso serie di funzione

[alexmazz1]

Mi sono bloccato durante lo svolgimento di un esercizio in cui chiede di calcolare l'integrale: $I= int_(1)^(a) sqrt(lnx) dx $ con $a>1$. Dopo la sostituzione $x=e^(t^2)$ , e poi sostituendo $e^(t^2)$ con il suo sviluppo di Taylor si ottiene $I=2int_(0)^(sqrt(lna) ) t^2(1+t^2+t^4/2+t^6/(3!)+... ) dt$

Per dimostrare che la serie è integrabile termine a termine, la serie $sum_(n=0)^(\infty) t^(2n+2)/(n!) dt$ con $a>1$ deve essere uniformemente convergente nell'intevallo $[0, \sqrtlna]$, giusto?
Come faccio a dimostrare la totale convergenza, e quindi l'uniforme, della mia serie, nell'intevallo sopra indicato? posso usare il criterio del rapporto? oppure si fa in un altro modo?

grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao alexmazz,

Beh, la serie $sum_(n=0)^(\infty) t^(2n+2)/(n!) $ (senza il $dt$...) è una serie di potenze, per cui valgono tutti i teoremi validi per le serie di potenze, incluso quello che permette di scambiare integrale e serie. D'altronde

$ sum_(n=0)^(\infty) t^(2n+2)/(n!) = t^2 sum_(n=0)^(\infty) t^{2n}/(n!) $

e, posto $a_n := 1/(n!) $, si vede che l'ultima serie ha raggio di convergenza $R$ infinito, infatti

$ 1/R = lim_{n \to +infty} |a_{n + 1}|/|a_n| = lim_{n \to +infty} frac{1/((n + 1)!)}{1/(n!)} = lim_{n \to +infty} frac{1}{n + 1} = 0$

Dunque la serie converge assolutamente $\AA t \in \RR $ e converge totalmente (e quindi anche uniformemente) su ogni sottoinsieme compatto di $\RR $.

[alexmazz1]

Ok grazie, allora avevo ragionato bene