Calcolo integrale

[DuxDjo]

Qualcuno lo sà fare?

$\int_{1}^{2} e^(t^2)*sqrt(4*t^2+4*t^2*e^(2*t^2))dt$

Mi pare un pò complicato...
Soprattutto con il caldo

[dissonance]

Senti, così a occhio: prova a fissare I=il tuo integrale, e integra per parti derivando $e^t^2$. Dopo uno o due passi dovresti trovare una cosa tipo $I=\text{qualcosa}+I$ e quindi $2I=\text{qualcosa}$. Se vuoi, prova...

[DuxDjo]

Sì ma se derivo il termine in $\e^(t^2)$ poi come faccio ad integrare la radice?

[adaBTTLS1]

sei certo del testo? non è per caso che le due esponenziali hanno lo stesso esponente (che sia ad esempio $e^(2t^2)$ anche fuori della radice o $e^(t^2)$ anche sotto radice)? perché in questo caso sarebbe abbastanza elementare... ciao.

[hybridslinky]

Ho appena trovato la soluzione, ci ho passato la serata ma ci sono riuscito. Adesso la scrivo senza troppi dettagli.

I = $\int e^(t^2) (4t^2+4t^2 e^(2t^2))^(1/2) dt= \int 2te^(t^2)(1+e^(2t^2))^(1/2) dt$

Porto il $ 4t^2 $ tranquillamente fuori della radice perché poi dovrai integrare tra 1 e 2, quindi considero t positivo.
integrando per parti e sostituendo poi $e^(t^2) = x $ ottengo

$I = e^(t^2)(1+e^(2t^2))^(1/2) - \int x^2 (1+x^2)^(-1/2) dx $

Ora, dato che $ (1+x^2)^(-1/2) = d/(dx) sinh^(-1) x $

ottengo integrando ancora per parti

$ \int x^2 (1+x^2)^(-1/2) dx = x^2 sinh^(-1) x - \int 2x sinh^(-1) x dx$

da $ \int sinh^(-1) x dx = x sinh^(-1) x - (1+x^2)^(1/2)$ ottengo ancora per parti

$ \int 2x sinh^(-1) x dx = 2x^2 sinh^(-1) x -2x (1+x^2)^(1/2) + \int 2(1+x^2)^(1/2) dx - \int 2x sinh^(-1) x dx $

utilizzando ora $ \int 2(1+x^2)^(1/2) dx = x (1+x^2)^(1/2) + sinh^(-1) x $ ottengo

$ \int 2x sinh^(-1) x dx = x^2 sinh^(-1) x -1/2 x (1+x^2)^(1/2) + 1/2 sinh^(-1) x$

metto tutto insieme per avere

$ \int x^2 (1+x^2)^(-1/2) dx = 1/2 x (1+x^2)^(1/2) - 1/2 sinh^(-1) x $

ed esplicitando la sostituzione iniziale ottengo

$ I = 1/2(e^(t^2)(1+e^(2t^2))^(1/2) + sinh^(-1) (e^(t^2))) $

spero di non aver fatto errori nel riportare i calcoli.
Comunque il risultato finale è giusto, lo puoi controllare sul Wolfram Integrator.

[DuxDjo]

Grazie!