Calcolo integrale
Salve!
In questi giorni sto affrontando il calcolo degli integrali, e non riesco a risolvere questo:
$ int ln(1+x^3)^(x^2)dx $
Riesco ad arrivare solo fino a qui:
$ int ln(1+x^3)^(x^2)dx=int x^2ln(1+x^3)dx= $
$ =(x^3ln(1+x^3))/3-intx^5/(1+x^3)dx $
A questo punto, però, il problema si sposta sul calcolo di
$ intx^5/(1+x^3)dx $
E non so proprio come fare. Il libro da cui sto studiando non ha ancora affrontato l'integrazione per sostituzione, quindi l'integrale va risolto senza farne uso.
In questi giorni sto affrontando il calcolo degli integrali, e non riesco a risolvere questo:
$ int ln(1+x^3)^(x^2)dx $
Riesco ad arrivare solo fino a qui:
$ int ln(1+x^3)^(x^2)dx=int x^2ln(1+x^3)dx= $
$ =(x^3ln(1+x^3))/3-intx^5/(1+x^3)dx $
A questo punto, però, il problema si sposta sul calcolo di
$ intx^5/(1+x^3)dx $
E non so proprio come fare. Il libro da cui sto studiando non ha ancora affrontato l'integrazione per sostituzione, quindi l'integrale va risolto senza farne uso.
Risposte
Scrivi $x^5=x^2 \cdot x^3=x^2(x^3+1-1)=x^2(x^3+1)-x^2$, dunque
$$\frac{x^5}{1+x^3}=\frac{x^2(x^3+1)-x^2}{1+x^3}=\frac{x^2(x^3+1)}{1+x^3}-\frac{x^2}{1+x^3}=x^2-\frac{x^2}{1+x^3}$$
Ora dovresti saper concludere anche senza sostituzioni.
Come alternativa, puoi fare la divisione tra polinomi in $\frac{x^5}{1+x^3}$.
$$\frac{x^5}{1+x^3}=\frac{x^2(x^3+1)-x^2}{1+x^3}=\frac{x^2(x^3+1)}{1+x^3}-\frac{x^2}{1+x^3}=x^2-\frac{x^2}{1+x^3}$$
Ora dovresti saper concludere anche senza sostituzioni.
Come alternativa, puoi fare la divisione tra polinomi in $\frac{x^5}{1+x^3}$.
Caspita, non ci avevo proprio pensato
Grazie mille (di nuovo)

Grazie mille (di nuovo)

Prego!
Tuttavia non capisco quale sia il motivo didattico di introdurre dopo le sostituzioni, l'unica cosa che mi viene in mente è per un "approccio creativo" ma, onestamente, penso sia più utile prima conoscere bene le tecniche standard.

"Mephlip":
Tuttavia non capisco quale sia il motivo didattico di introdurre dopo le sostituzioni, l'unica cosa che mi viene in mente è per un "approccio creativo"
Anche a me onestamente sfugge il motivo didattico, mentre a proposito di "approccio creativo" in alternativa farei così:
$ \int x^5/(1+x^3) \text{d}x = \int (x^3 \cdot x^2 \text{d}x)/(1+x^3) = 1/3 \int (x^3)/(1+x^3) \text{d}(x^3) = 1/3 \int (1 + x^3 - 1)/(1+x^3) \text{d}(x^3) = $
$ = 1/3 [\int \text{d}(x^3) - \int (\text{d}(1 + x^3))/(1 + x^3)] = 1/3 [x^3 - ln(1 + x^3)] + c $
Perciò in definitiva si ha:
$\int ln (1 + x^3)^{x^2} \text{d}x = (x^3ln(1 + x^3))/3 - \int x^5/(1+x^3) \text{d}x = 1/3 [x^3 ln(1 + x^3) - x^3 + ln(1 + x^3)] + c $
Il modulo sull'argomento del logaritmo è stato omesso in quanto la proprietà dei logaritmi applicata inizialmente presuppone che l'argomento del logaritmo sia positivo.