Calcolo integrale

[cri981]

salve ragazzi!
ho questo esercizio che non riesco a capire come trattarlo:
avrebbe senso applicare il teorema di gauss green?
$ int_gamma(ds)/(1+sqrt(x^2+y^2)/2)= $
$ gamma(t)=(x(t),y(t))=(e^t(cos(t)-sen(t)),e^t(cost+sen(t)) $

$tepsilon[0,2]$

grazie!

[pilloeffe]

Ciao cri98,

"cri98":avrebbe senso applicare il teorema di gauss green?

Eh? Si tratta di un integrale curvilineo, scrivi $\text{d}s = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \text{d}t $

[gugo82]

"cri98":avrebbe senso applicare il teorema di gauss green?

Secondo te ne avrebbe?
Perché?

[cri981]

ciao ragazzi!
allora ho effettuato i calcoli ottengo:
$ int_0^2(1/(1+sqrt(x^2+y^2)/2))= $
applico la formula:
$ int_a^bf(x(t),y(t))sqrt((xprime(t))^2+(yprime(t))^2)dt= $
ho calcolato le derivate di x e y:
$ { ( e^t(cos(t)-sen(t)) ),( e^t(cos(t)+sen(t)) ):} $
$ { ( xprime=2e^tcos(t)-2e^tsen(t) ),((yprime=2e^tcos(t))^2)):} $
$ int_0^2(sqrt((2e^tcos(t)-2e^tsen(t))^2+(2e^tcos(t))^2)/(1+sqrt((e^tcos(t)-sen(t))^2+e^t(cos(t)+sen(t))^2)/2)) $

mi sembra un pò laboriosa c'è un modo per ridurre e rendere i calcoli più semplici?
grazie!

[pilloeffe]

Scusa, ma come calcoli le derivate?
Si ha:

$ x(t) = e^t(cos t-sin t) \implies x'(t) = - 2 e^t sin t$

$ y(t) = e^t(cos t+sin t) \implies y'(t) = 2 e^t cos t$

Quindi si ha:

$1/2 \sqrt{x^2(t) + y^2(t)} = 1/2 sqrt{e^(2 t) - 2 e^(2 t) cos t sin t + e^(2 t) + 2 e^(2 t) cos t sin t} = sqrt2/2 e^t $

$ \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} = \sqrt{4 e^{2t}sin^2 t + 4e^{2t} cos^2 t} = 2e^t $

[cri981]

ciao pilloeffe,
hai ragione, ho effettuato nuovamente i calcoli ed ottengo i tuoi stessi risultati

infine ottengo:
$ (2e^t)/(1+sqrt(2)/2e^t) $

[pilloeffe]

Beh, si ha:

$\int (2e^t)/(1+sqrt(2)/2 e^t)\text{d}t = \int (4e^t)/(2+sqrt(2) e^t)\text{d}t = 2\sqrt2 \int (sqrt 2e^t)/(2+sqrt(2) e^t)\text{d}t $

L'ultimo integrale scritto è immediato perché è del tipo $\int (f'(t))/(f(t)) \text{d}t = ln|f(t)| + c $ per cui calcolando il corrispondente integrale definito fra $0$ e $2$...

[cri981]

ciao pilloeffe
alla fine ottengo:
$ [log(sqrt(2)e^x+2)+c]_0^2= log(sqrt(2)e^2+2)-log(sqrt(2)e^0+2)=$
$log(sqrt(2)e^2+2)-log(sqrt(2)+2)=log(sqrt(2)e^2+2)/(log(sqrt(2)+2)) $
grazie

[pilloeffe]

No.
Hai fatto 3 errori di cui l'ultimo piuttosto grave perché denota una scarsa conoscenza dei logaritmi e delle loro proprietà:

"cri98":
$ log(sqrt(2)e^2+2)-log(sqrt(2)+2)=log(sqrt(2)e^2+2)/(log(sqrt(2)+2)) $

Poi hai scritto $c$ e hai invece omesso il $2\sqrt2 $ iniziale...
Parti da qui:

$ 2\sqrt2 \int_0^2 (sqrt 2e^t)/(2+sqrt(2) e^t)\text{d}t = 2\sqrt2 [log(2 + sqrt(2) e^t)]_0^2 $

[cri981]

ciao pilloeffe!
allora ottengo:$ 2\sqrt2 \int_0^2 (sqrt 2e^t)/(2+sqrt(2) e^t)\text{d}t = 2\sqrt2 [log(2 + sqrt(2) e^t)]_0^2 $
$ 2sqrt(2)[log(2+sqrt(2)e^t)]_0^2=2sqrt(2)[log(2+sqrt(2)e^2)-log(2+sqrt(2)e^0]=2sqrt(2)log((2+sqrt(2)e^2)/(2+sqrt(2))) $