Calcolo integrale

[Lorcap1]

Ciao, è la prima volta che apro un thread qui, quindi vi prego di perdonarmi se la sezione è sbagliata.

Il mio problema è il calcolo di un integrale, nella fattispecie:
$ int_0^oo x^(1/4)/(3+x)^2dx $

Ho provato anche integrando per parti, anche iterativamente, ma nulla.

Help pls :'(

[pilloeffe]

Ciao Lorcap,

Benvenuto sul forum!

Risolverei preventivamente l'integrale indefinito seguente:

$ int x^(1/4)/(3+x)^2 dx $

Ponendo $t := x^(1/4) \implies x = t^4 \implies dx = 4 t^3 dt $ si trasforma nell'integrale di una funzione razionale che poi scomporrei in fratti semplici...

[Lorcap1]

Okay, avevo considerato questa possibilità, però ora mi trovo integrale di 1/(3+t^4), che ho risolto col metodo dell'arco tangente, meno 3 volte l'integrale di 1/(3+t^4)^2, che non riesco a risolvere.

Mi daresti ancora una mano per favore?

[pilloeffe]

"Lorcap": avevo considerato questa possibilità, però ora mi trovo integrale di 1/(3+t^4)

In realtà dovresti ottenere $ int frac{4t^4}{(3 + t^4)^2} dt $

Comunque ti ho fornito delle indicazioni di massima per procedere, ma non ho mica scritto che sarebbe stato facile...
In realtà è molto laborioso: per avere un'idea di ciò a cui vai incontro, dai un'occhiata a questo thread.
Ora ho poco tempo e non riesco a scrivere tutti i passaggi, ma l'idea di base è la seguente:

$ int frac{4t^4}{(3 + t^4)^2} dt = 4 int frac{t^4}{(t^2 - sqrt{2}root[4]{3}t + sqrt{3})^2(t^2 + sqrt{2}root[4]{3}t + sqrt{3})^2} dt $

Da qui poi si procede con la scomposizione in fratti: prova a continuare tu, poi magari più tardi se trovo un po' di tempo...

[Lorcap1]

Mhm, ho dato un'occhiata al thread, non è esattamente la cosa più simpatica al mondo sto integrale. In realtà non è neanche mio, ma stavo aiutando un amico, gli ho girato i tuoi consigli e il thread intero.
Grazie mille per l'aiuto! Se poi ti va di continuare, ci faciliteresti il lavoro ahaha