Calcolo integrale
Vorrei calcolare l'integrale $int_0^(oo) x^3/(e^(cx)-1)dx$.
Avevo provato ad integrare per parti ma non ne vengo a capo...avete qualche suggerimento?
Avevo provato ad integrare per parti ma non ne vengo a capo...avete qualche suggerimento?
Risposte
Ciao thedarkhero,
Il suggerimento è di lasciar perdere, non converge...
D'altronde posto $t := e^{cx} - 1$, se non ho fatto male i conti e supponendo $c > 0$ ed ovviamente $c \ne 0$, ho trovato:
$int_{0}^{+\infty} frac{x^3}{e^(cx)-1} dx = frac{1}{c^4}\int_{0}^{+\infty} frac{\ln^3(1 + t)}{t}dt - frac{1}{4c^4}[\ln^4(1 + t)]_{0}^{+\infty}$
E visto che nessuno dei due termini alla destra dell'uguale converge...
Il suggerimento è di lasciar perdere, non converge...
D'altronde posto $t := e^{cx} - 1$, se non ho fatto male i conti e supponendo $c > 0$ ed ovviamente $c \ne 0$, ho trovato:
$int_{0}^{+\infty} frac{x^3}{e^(cx)-1} dx = frac{1}{c^4}\int_{0}^{+\infty} frac{\ln^3(1 + t)}{t}dt - frac{1}{4c^4}[\ln^4(1 + t)]_{0}^{+\infty}$
E visto che nessuno dei due termini alla destra dell'uguale converge...
@pilloeffe: come puoi dire che quell'integrale non converge?? C'è una funzione esponenziale!
Chiedo scusa ad entrambe: ho scritto una fesseria...
$int_{0}^{+\infty} frac{x^3}{e^(cx)-1} dx = frac{\pi^4}{15c^4}$
per $Re[c] > 0$.
$int_{0}^{+\infty} frac{x^3}{e^(cx)-1} dx = frac{\pi^4}{15c^4}$
per $Re[c] > 0$.
Visto che "ho peccato", per farmi perdonare spiego il risultato un po' criptico che ho scritto nell'ultimo post, che si può ottenere col metodo dei residui oppure col metodo che mi accingo ad esporre.
$int_{0}^{+\infty} frac{x^3}{e^(cx)-1} dx = int_{0}^{+\infty} frac{x^3}{e^{cx}(1 -e^{-cx})} dx = int_{0}^{+\infty} x^3 e^{-cx}\sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-cnx} dx = int_{0}^{+\infty} x^3 \sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-c(n + 1)x} dx$
Scambiando la serie con l'integrale, si ottiene:
$int_{0}^{+\infty} x^3 \sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-c(n + 1)x} dx = \sum_{n = 0}^{+\infty} int_{0}^{+\infty} x^3 e^{-c(n + 1)x} dx$
Posto $t := c(n + 1)x$, l'integrale converge solo se $Re[c] > 0$ e si trova:
$frac{1}{c^4} \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{1}{(n + 1)^4} int_{0}^{+\infty} t^3 e^{-t} dt = frac{1}{c^4} \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{1}{(n + 1)^4} [-e^{-t}(t^3 + 3t^2 + 6t + 6)]_{0}^{+\infty} = frac{6}{c^4} \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{1}{(n + 1)^4}$
L'ultima è una serie la cui somma è nota, si ha $\sum_{n = 0}^{+\infty} frac{1}{(n + 1)^4} = frac{\pi^4}{90}$, perciò in definitiva si ha:
$int_{0}^{+\infty} frac{x^3}{e^(cx)-1} dx = frac{6}{c^4} \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{1}{(n + 1)^4} = frac{6}{c^4} \cdot frac{\pi^4}{90} = frac{\pi^4}{15c^4}$
Risultato valido come si è detto per $Re[c] > 0$.
$int_{0}^{+\infty} frac{x^3}{e^(cx)-1} dx = int_{0}^{+\infty} frac{x^3}{e^{cx}(1 -e^{-cx})} dx = int_{0}^{+\infty} x^3 e^{-cx}\sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-cnx} dx = int_{0}^{+\infty} x^3 \sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-c(n + 1)x} dx$
Scambiando la serie con l'integrale, si ottiene:
$int_{0}^{+\infty} x^3 \sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-c(n + 1)x} dx = \sum_{n = 0}^{+\infty} int_{0}^{+\infty} x^3 e^{-c(n + 1)x} dx$
Posto $t := c(n + 1)x$, l'integrale converge solo se $Re[c] > 0$ e si trova:
$frac{1}{c^4} \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{1}{(n + 1)^4} int_{0}^{+\infty} t^3 e^{-t} dt = frac{1}{c^4} \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{1}{(n + 1)^4} [-e^{-t}(t^3 + 3t^2 + 6t + 6)]_{0}^{+\infty} = frac{6}{c^4} \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{1}{(n + 1)^4}$
L'ultima è una serie la cui somma è nota, si ha $\sum_{n = 0}^{+\infty} frac{1}{(n + 1)^4} = frac{\pi^4}{90}$, perciò in definitiva si ha:
$int_{0}^{+\infty} frac{x^3}{e^(cx)-1} dx = frac{6}{c^4} \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{1}{(n + 1)^4} = frac{6}{c^4} \cdot frac{\pi^4}{90} = frac{\pi^4}{15c^4}$
Risultato valido come si è detto per $Re[c] > 0$.
Grazie mille!
Se per semplificare un po il problema pongo $c=1$ (ottenendo quindi l'integrale $\int_0^oo x^3/(e^x-1) dx$), trovo un modo di integrare più semplice oppure la sostanza non cambia?
Se per semplificare un po il problema pongo $c=1$ (ottenendo quindi l'integrale $\int_0^oo x^3/(e^x-1) dx$), trovo un modo di integrare più semplice oppure la sostanza non cambia?
Ciao thedarkhero,
Prego!
Non posso escludere che possano essere trovati metodi di integrazione più semplici: diciamo che il più semplice che ho trovato io è quello che ti ho postato. Porre per comodità $c = 1$ ovviamente è sempre possibile e lecito, ma non credo che cambi la sostanza, perché non è certo il valore di $c$ che "dà fastidio" nella soluzione dell'integrale che hai proposto...
Prego!
Non posso escludere che possano essere trovati metodi di integrazione più semplici: diciamo che il più semplice che ho trovato io è quello che ti ho postato. Porre per comodità $c = 1$ ovviamente è sempre possibile e lecito, ma non credo che cambi la sostanza, perché non è certo il valore di $c$ che "dà fastidio" nella soluzione dell'integrale che hai proposto...
Ottimo, grazie ancora! 
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