Calcolo integrale
Salve sono alle prese col seguente integrale
\( \int_{0}^{2\pi }\frac{dx}{(1+sin^2x)^2} \)
questo è quello che ho fatto fin'ora, potreste dare una controllata?
\( \int_{0}^{2\pi }\frac{dx}{(1+sin^2x)^2} \)
questo è quello che ho fatto fin'ora, potreste dare una controllata?
Risposte
Forse ho trovato una via più semplice, se utilizzando le formule di duplicazione sostituisco il seno con
\( sin^2x=\frac{1-cos2x}{2} \) ?
\( sin^2x=\frac{1-cos2x}{2} \) ?
Vedere l'integrale mi fa venire in mente quel paragrafo che si chiama
"applicazione del teorema dei residui nel calcolo degli integrali reali".
Ti parlo di residui perché dal tuo procedimento penso che stai facendo analisi complessa (e non analisi I dove comunque si fanno integrali anche tosti!).
In pratica sostituisci come hai fatto (cioè $sin(x)= \frac{e^(ix)-e^(-ix)}{2i}$), ma quello che ottieni lo risolvi utilizzando il metodo dei residui.
Nel tuo caso (metto la $t$ per semplicità)
$\int_0^(2\pi) \frac{1}{(1+sin^2 (t))^2}dt= \int_0^(2\pi) \frac{1}{(1+(\frac{e^(it)-e^(-it)}{2i})^2)^2} dt=$
$= \int_\gamma \frac{1}{(1+(\frac{z-z^(-1)}{2i})^2)^2}\frac{dz}{iz}$
che, una volta sistemato, si risolve con il teorema dei residui: per capire l'ultimo passaggio, pensa che in genere si fa il contrario per gli integrali curvilinei.
Non te lo so spiegare bene perché questo è un metodo abbastanza standard che in genere "si dà così com'è" (oltre al fatto che analisi complessa l'ho fatta più di 2 anni fa!!!).
[size=80]L'ultima volta che si parlava di residui è stato speculor ad illuminarmi...[/size]
"applicazione del teorema dei residui nel calcolo degli integrali reali".
Ti parlo di residui perché dal tuo procedimento penso che stai facendo analisi complessa (e non analisi I dove comunque si fanno integrali anche tosti!).
In pratica sostituisci come hai fatto (cioè $sin(x)= \frac{e^(ix)-e^(-ix)}{2i}$), ma quello che ottieni lo risolvi utilizzando il metodo dei residui.
Nel tuo caso (metto la $t$ per semplicità)
$\int_0^(2\pi) \frac{1}{(1+sin^2 (t))^2}dt= \int_0^(2\pi) \frac{1}{(1+(\frac{e^(it)-e^(-it)}{2i})^2)^2} dt=$
$= \int_\gamma \frac{1}{(1+(\frac{z-z^(-1)}{2i})^2)^2}\frac{dz}{iz}$
che, una volta sistemato, si risolve con il teorema dei residui: per capire l'ultimo passaggio, pensa che in genere si fa il contrario per gli integrali curvilinei.
Non te lo so spiegare bene perché questo è un metodo abbastanza standard che in genere "si dà così com'è" (oltre al fatto che analisi complessa l'ho fatta più di 2 anni fa!!!).
[size=80]L'ultima volta che si parlava di residui è stato speculor ad illuminarmi...[/size]
Grazie per la risposta zero87, so bene che va risolto col metodo dei residui, il problema è che effettuando le varie sostituzioni, mi ritrovo al denominarore un polinomio di grado 8, e quindi trovari i poli mi risulta difficoltoso.
Per quello avevo pensato di di utilizzare le formule di duplicazione.
Non so se sono stato chiaro.
Per quello avevo pensato di di utilizzare le formule di duplicazione.
Non so se sono stato chiaro.
"tino20":
Per quello avevo pensato di di utilizzare le formule di duplicazione.
Non so se sono stato chiaro.
Certo, comunque si può mescolare il tutto ed utilizzare sia la duplicazione sia i residui.
$cos(2x)= \frac{e^(2x)+e^(-2x)}{2}$
che stavolta dovrebbe dare un polinomio di grado 4 dato che con la duplicazione "dimezzi" il grado...
Però, come ho detto, lascio la palla a chi ha la mente più fresca della mia sui residui...!
Grazie mille comunque! 
"tino20":
Grazie mille comunque!
Di nulla... [size=80]prima o poi mi devo far ridare gli appunti di analisi complessa perché ho visto che gli integrali reali con il teorema dei residui non me li ricordo più![/size]
Buon fine settimana a te e ai forumisti.
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