Calcolo integrale

[maksimon]

non riesco a risolvere questo integrale:

$int_(0)^(2)e^((x-1)^2)(x-1)dx$.

ho calcolato il prodotto notevole venendo fuori $e^(x^2-2x+1)$, ma non mi è stato d'aiuto

[Cuspide83]

Innanzitutto applica la sostituzione

\[x-1=y\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}dy=dx\hspace{2 cm}y(0)=-1\hspace{0.5 cm}y(2)=1\]
ovvero

\[\int^{1}_{-1}{e^{y^{2}}y\ dy}\]
Adesso puoi osservare facilmente come la funzione integranda sia una fuzione dispari

\[f(-y)=e^{(-y)^{2}}(-y)=-e^{y^{2}}y=-f(y)\]
e l'intervallo di integrazione sia simmetrico rispetto all'origine \([-1,1]\). Quindi l'integrale è nullo.

[maksimon]

grazie mille, ne ho di strada prima di arrivare a capire immediatamente quando c'è bisogno di una sostituzione come te.

volevo chiedere, come mai l'intervallo di integrazione diventa -1, 1? perché prendi la funzione $y=x-1$ e trovi il valore della x sostituendo a y i valori estremi del vecchio intervallo di integrazione?

[Brancaleone1]

Esatto.

Altro esempio: $int_0^1 sqrt(e^x)dx$

$t=sqrt(e^x)=>dt=sqrt(e^x)/2dx=>2/sqrt(e^x)dt=dx=>2/tdt=dx$

$=>int_1^sqrte t cdot 2/tdt=2int_1^sqrtedt=2[t]_1^sqrte=2(sqrte-1)$

Guarda qui.