Calcolo Flusso vettore attraverso una superficie
Salve,
ho questo esercizio che mi dice di calcolare il flusso di $v(x,y,z)=(z,0,-y)$ attraverso la superficie S, formata dalla rotazione di un angolo giro attorno all'asse z della funzione $z=senx$ con $xin[0,pi]$.
Ho provato a parametrizzare così:
$ p(t,tau): { ( x=tcostau ),( y=tsentau ),( z=sent ):} $ con $tin[0,pi]$ e $tau in [0,2pi]$
Provando a fare l'integrale superficiale $ int_(S) v(p(t,tau))\cdot n_e dsigma $ ho notato che mi esce $0$. Secondo voi è corretto?? Grazie
ho questo esercizio che mi dice di calcolare il flusso di $v(x,y,z)=(z,0,-y)$ attraverso la superficie S, formata dalla rotazione di un angolo giro attorno all'asse z della funzione $z=senx$ con $xin[0,pi]$.
Ho provato a parametrizzare così:
$ p(t,tau): { ( x=tcostau ),( y=tsentau ),( z=sent ):} $ con $tin[0,pi]$ e $tau in [0,2pi]$
Provando a fare l'integrale superficiale $ int_(S) v(p(t,tau))\cdot n_e dsigma $ ho notato che mi esce $0$. Secondo voi è corretto?? Grazie
Risposte
Pare di sì. Però io avrei applicato il Teorema della divergenza, considerando l'unione delle superfici $S$ data e del cerchio $C$ che determina la sua base. Poiché la divergenza del vettore $v$ è nulla, allora
$\int\int_S v\cdot n\ d\sigma=-\int\int_C v\cdot n\ d\sigma$
e la parametrizzazione per $C:\ x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z=0$ con $t\in[0,2\pi],\ \rho\in[0,\pi]$ e il vettore normale $(0,0,-1)$.
$\int\int_S v\cdot n\ d\sigma=-\int\int_C v\cdot n\ d\sigma$
e la parametrizzazione per $C:\ x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z=0$ con $t\in[0,2\pi],\ \rho\in[0,\pi]$ e il vettore normale $(0,0,-1)$.
Capisco. L'ho risolto così perchè la prof così vuole che facciamo purtroppo XD senza applicare divergenza o stokes. E invece se volessi calcolare il volume del dominio che ha come frontiera la superficie $S$ come devo muovermi??
Lì la farei molto semplice e userei la formula del volume di un solido di rotazione: se $y=f(x)$ allora il volume del solido generato dalla rotazione della curva relativa all'intervllo $[a,b]$ attorno all'asse $x$ è dato da
$V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\ dx$
Nel tuo caso, dal momento che hai $z=f(x)$ e la rotazione avviene attorno all'asse $z$, puoi scrivere $x=f(z)=\arcsin(z)$ considerando $z\in[0,1]$ e usare la formula precedente al modo seguente
$V=\pi\int_0^1 [f(z)]^2\ dz.$
Attento però al seguente fatto: quell'integrale restituisce il volume del solido che "contiene" come asse l'asse $z$, mentre tu vuoi la parte "esterna ad esso". Puoi osservare però quanto segue: a causa della simmetria della curva $\sin x$, il volume di tutto il solido che ti interessa si ottiene come differenza tra il volume del solido ottenuto ruotando la curva $x=\pi-\arcsin z$ per $z\in[0,1]$ e il solido ottenuto ruotando la curva $x=\arcsin z$ per gli stessi valori di $z$. In definitiva
$V=\pi\int_0^1 [(\pi-\arcsin z)^2-\arcsin^2 z]\ dz=\pi\int_0^1 [\pi^2-2\pi\arcsin z]\ dz$.
Spero sia chiaro perché al momento una spiegazione migliore non mi viene.
P.S.: il risultato dovrebbe essere $2\pi^2$.
$V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\ dx$
Nel tuo caso, dal momento che hai $z=f(x)$ e la rotazione avviene attorno all'asse $z$, puoi scrivere $x=f(z)=\arcsin(z)$ considerando $z\in[0,1]$ e usare la formula precedente al modo seguente
$V=\pi\int_0^1 [f(z)]^2\ dz.$
Attento però al seguente fatto: quell'integrale restituisce il volume del solido che "contiene" come asse l'asse $z$, mentre tu vuoi la parte "esterna ad esso". Puoi osservare però quanto segue: a causa della simmetria della curva $\sin x$, il volume di tutto il solido che ti interessa si ottiene come differenza tra il volume del solido ottenuto ruotando la curva $x=\pi-\arcsin z$ per $z\in[0,1]$ e il solido ottenuto ruotando la curva $x=\arcsin z$ per gli stessi valori di $z$. In definitiva
$V=\pi\int_0^1 [(\pi-\arcsin z)^2-\arcsin^2 z]\ dz=\pi\int_0^1 [\pi^2-2\pi\arcsin z]\ dz$.
Spero sia chiaro perché al momento una spiegazione migliore non mi viene.
P.S.: il risultato dovrebbe essere $2\pi^2$.
Capito, conosci qualche programma che mi permette di disegnare le superfici in 3D per farmi un idea? Perchè con wolfram non va. Grazie.
Ce ne sono una quantità industriale: se cerchi in rete, prova a scrivere "software plot 3d" e vedi cosa esce fuori (ovviamente questo se vuoi un software libero da usare su internet). Altrimenti, se hai tempo e voglia, potresti cercare il Maple o il Mathematica.
Comunque, wolphram dovrebbe disegnare i grafici 3d: mi pare che la sintassi preveda il comando "plot3d"
Comunque, wolphram dovrebbe disegnare i grafici 3d: mi pare che la sintassi preveda il comando "plot3d"
"ciampax":
Attento però al seguente fatto: quell'integrale restituisce il volume del solido che "contiene" come asse l'asse $z$, mentre tu vuoi la parte "esterna ad esso".
E nel caso generale, che non sia la funzione suddetta $arcsenz$, come si procede nel calcolare la parte "esterna"??
"ciampax":
Lì la farei molto semplice e userei la formula del volume di un solido di rotazione: se $y=f(x)$ allora il volume del solido generato dalla rotazione della curva relativa all'intervllo $[a,b]$ attorno all'asse $x$ è dato da
$V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\ dx$
Tenendo presente una funzione nel piano $(z,x)$, come quella dell'esempio, questa formula si può usare sia se la rotazione è intorno all'asse delle $z$ e sia se è intorno all'asse delle $x$?? o ci sono formule diverse?
No, quella formula vale solo se la rotazione avviene attorno all'asse rispetto al quale effettui la rotazione. Per cui se hai la funzione $z=f(x)$ con $x\in[a,b]$ usi quella che ho scritto, se la rotazione avviene attorno all'asse $x$.
Se invece avviene attorno all'asse $z$, detta $x=g(z)$ dove $g=f^{-1}$, dovrai trovare gli estremi $z\in[\alpha,\beta]$ e poi applicare la formula scritta così
$V=\pi\int_\alpha^\beta [g(z)]^2\ dz$
Se invece avviene attorno all'asse $z$, detta $x=g(z)$ dove $g=f^{-1}$, dovrai trovare gli estremi $z\in[\alpha,\beta]$ e poi applicare la formula scritta così
$V=\pi\int_\alpha^\beta [g(z)]^2\ dz$
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