Calcolo flusso uscente da una superficie

[Oibaf996]

Ciao a tutti sono sempre io, sto svolgendo un esercizio di cui non ho la soluzione e quindi non ho idea di come poterne verificare la correttezza. Potreste dirmi se e' corretto?
Testo: Calcolare il flusso $ int int_(Sigma )F* n dS $ dove $ Sigma={z>=0,x^2+y^2+z^2=1} $ e' orientata in modo che il versore normale n abbia laterza coordinata maggiore o uguale a zero ed $ F(x,y,z)=(2zx,sinhzcosx,1+z^2) $

Svolgimento: Cioe' che ho fatto e' sfruttare il teorema di Gauss-Green cioe' $ int int intgradF dx dy dz = int int_(Sigma)F*ndS + int int_(B)F*ndS $
Calcolo l'integrale triplo con la divergenza del campo impostandolo cosi': $ int_(0)^(1)4z int_(0)^(2pi) int_(0)^(sqrt(1-z^2))rho drho dTheta dz = pi $ semplicemente usando la trasformazione in circonferenza in funziona di z
Calcolo integrale sul bordo: $ int int_(x^2+y^2=1)-1dxdy = - int_(0)^(2pi) int_(0)^(1)rho drho dTheta = -pi $

Quindi: $ Phi (F,Sigma) = pi + pi = 2pi $

E' corretto?

[pilloeffe]

Ciao Oibaf96,

"Oibaf96":E' corretto?

Il risultato mi pare corretto (ma nell'ultimo integrale hai scritto $x^2 + y^2 = 1$ invece di $x^2 + y^2 <= 1$), anche se hai saltato un po' di passaggi e sinceramente per risolvere gli integrali non sarei neanche passato alle coordinate cilindriche...
Si ha:

$\Phi(\mathbf{F},\Sigma) = \int\int_{\Sigma}\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\text{d}S = \int\int\int_{\Omega} grad \mathbf{F}\text{d}x \text{d}y \text{d}z - \int\int_B \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \text{d}S $

ove $B := {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 <= 1, z = 0}$ e $\Omega $ è l'aperto definito nel modo seguente: $\Omega := {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 < 1, z > 0}$. Quindi, essendo $grad \mathbf{F} = 4z $, semplicemente si ha:

$\int\int\int_{\Omega} grad \mathbf{F}\text{d}x \text{d}y \text{d}z = \int_0^1 4z (\int\int_{x^2 + y^2 < 1 - z^2} \text{d}x \text{d}y) \text{d}z = \int_0^1 4z \pi (1 - z^2) \text{d}z = $
$ = 4\pi \cdot \int_0^1 (z - z^3) \text{d}z = 4\pi \cdot 1/4 = \pi $

Poiché il versore normale a $B$ verso l'esterno è $\mathbf{n} = - \mathbf{k} = (0,0, - 1) $, si ha:

$ \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = (2zx,sinhz cosx,1+z^2)\cdot (0,0, - 1) = - 1 - z^2 $

Dato poi che $z = 0 $ in $B$ ecco che si ha:

$ \int\int_B \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \text{d}S = \int\int_B - 1 \text{d}S = - \int\int_B \text{d}S = - \pi $

Quindi in definitiva si ha:

$ \Phi(\mathbf{F},\Sigma) = \int\int_{\Sigma}\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\text{d}S = \int\int\int_{\Omega} grad \mathbf{F}\text{d}x \text{d}y \text{d}z - \int\int_B \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \text{d}S = \pi - (-\pi) = 2\pi $