Calcolo flusso con divergenza
salve sto cercando di risolvere questo esercizio e ho qualche problema
Sia A il dominio dello spazio costituito dai punti (x,y,z) tali che:
Posto
calcolare il flusso del vettore v uscente dalla frontiera di A.
Ho pensato di calcolarlo col teorema della divergenza quindi mi sono calcolato la divergenza di v
div(v)= $ -3x+(2log(z+1)-log^2(z+1))/(z+1)^2 $
quindo passo all'integrale:
$ int int int_(partialA )^() -3x+(2log(z+1)-log^2(z+1))/(z+1)^2dx dy dz $
finquì il procedimento è giusto?
ho separato l'integrale in due
$ int int int_(partialA )^() -3xdx dy dz $
$ int int int_(partialA ) (2log(z+1)-log^2(z+1))/(z+1)^2dx dy dz $
il primo mi viene $ -3/2 $
il secondo invece non sono riuscito a completarlo
potreste aiutarmi?
Sia A il dominio dello spazio costituito dai punti (x,y,z) tali che:
$ x^2+y^2<=z<=1 $
Posto
v(x,y,z)= $ (z-x^2)i-(xy)j+log^2(z+1)/(z+1)k $
calcolare il flusso del vettore v uscente dalla frontiera di A.
Ho pensato di calcolarlo col teorema della divergenza quindi mi sono calcolato la divergenza di v
div(v)= $ -3x+(2log(z+1)-log^2(z+1))/(z+1)^2 $
quindo passo all'integrale:
$ int int int_(partialA )^() -3x+(2log(z+1)-log^2(z+1))/(z+1)^2dx dy dz $
finquì il procedimento è giusto?
ho separato l'integrale in due
$ int int int_(partialA )^() -3xdx dy dz $
$ int int int_(partialA ) (2log(z+1)-log^2(z+1))/(z+1)^2dx dy dz $
il primo mi viene $ -3/2 $
il secondo invece non sono riuscito a completarlo
potreste aiutarmi?
Risposte
Ciao,
come hai ottenuto $-3/2$ per il primo integrale ?? Prova a rivedere i calcoli: devi integrare su tutto il volume.
Per quanto riguarda il secondo, (per focalizzare meglio il problema) puoi raccogliere così
$int int int_(partialA ) (2log(z+1)-log^2(z+1))/(z+1)^2dx dy dz =$
$-int int int_(partialA )( log(z+1)*(log(z+1)-2))/(z+1)^2dx dy dz$
e integrare per parti. Se ti è più comodo puoi anche porre $z+1=w$
Buona notte.
come hai ottenuto $-3/2$ per il primo integrale ?? Prova a rivedere i calcoli: devi integrare su tutto il volume.
Per quanto riguarda il secondo, (per focalizzare meglio il problema) puoi raccogliere così
$int int int_(partialA ) (2log(z+1)-log^2(z+1))/(z+1)^2dx dy dz =$
$-int int int_(partialA )( log(z+1)*(log(z+1)-2))/(z+1)^2dx dy dz$
e integrare per parti. Se ti è più comodo puoi anche porre $z+1=w$
Buona notte.
ciao per quanto riguarda il secondo ho pensato di fare così
$ int int int_(partialA ) (2log(z+1)-log^2(z+1))/(z+1)^2dx dy dz = $$ int int int_(partialA ) (2log(z+1)-log^2(z+1))/(z+1)^2dx dy dz = $
$ int int ([ log^2(z+1)/(z+1)]_(x^2+y^2)^(1) )dxdy $=
$ int_B log^2(2)/2dxdy-int_Blog^2(x^2+y^2+1)/(x^2+y^2)dxdy $
passando a ccordinate polari visto che B è n cerchio ottengo:
$ log^2(2)/2 int_0^1int_0^(2pi)rdrdphi - int_0^1int_0^(2pi)log^2(r^2+1)/rdrdphi $
ora il primo pezzo è $pi(log^2(2)/2) $
il secondo termine non riesco a svolgerlo potresate darmi una mano?
$ int int int_(partialA ) (2log(z+1)-log^2(z+1))/(z+1)^2dx dy dz = $$ int int int_(partialA ) (2log(z+1)-log^2(z+1))/(z+1)^2dx dy dz = $
$ int int ([ log^2(z+1)/(z+1)]_(x^2+y^2)^(1) )dxdy $=
$ int_B log^2(2)/2dxdy-int_Blog^2(x^2+y^2+1)/(x^2+y^2)dxdy $
passando a ccordinate polari visto che B è n cerchio ottengo:
$ log^2(2)/2 int_0^1int_0^(2pi)rdrdphi - int_0^1int_0^(2pi)log^2(r^2+1)/rdrdphi $
ora il primo pezzo è $pi(log^2(2)/2) $
il secondo termine non riesco a svolgerlo potresate darmi una mano?
Ok, dai ci sei quasi...
Il primo pezzo va bene.
Nel secondo hai dimenticato il +1 nel denominatore, quindi è:
$-int_Blog^2(x^2+y^2+1)/(x^2+y^2+1)dxdy$ e cioè $ - int_0^1int_0^(2pi)log^2(r^2+1)/(r^2+1)*rdrdphi$
la cui primitiva è:
$ - int_0^(2pi)(log^3(r^2+1)/6 ) _0^1 dphi$
Inoltre aggiungo come chiarimento.
Per quano riguarda l'integrale di $-3x$, visto nel primo messaggio, abbiamo una funzione integranda dispari ($-3x$ appunto) integrata su un dominio pari cioè simmetrico rispetto all'asse $z$. Quindi converrai con me che questo integrale deve essere $=0$.
Ora puoi concludere.
SSSSC
Bye
Il primo pezzo va bene.
Nel secondo hai dimenticato il +1 nel denominatore, quindi è:
$-int_Blog^2(x^2+y^2+1)/(x^2+y^2+1)dxdy$ e cioè $ - int_0^1int_0^(2pi)log^2(r^2+1)/(r^2+1)*rdrdphi$
la cui primitiva è:
$ - int_0^(2pi)(log^3(r^2+1)/6 ) _0^1 dphi$
Inoltre aggiungo come chiarimento.
Per quano riguarda l'integrale di $-3x$, visto nel primo messaggio, abbiamo una funzione integranda dispari ($-3x$ appunto) integrata su un dominio pari cioè simmetrico rispetto all'asse $z$. Quindi converrai con me che questo integrale deve essere $=0$.
Ora puoi concludere.
SSSSC
Bye
grazie dell'aiuto ma se volessi risolvere $int int int -3x dxdydz$ in modo standard
potrei fare così?
$int int_(B)-3x( int_(x^2+y^2)^(1)dz)dxdy$
$int int_(B)-3x(1-(x^2+y^2))dxdy$
dividendo in due e passando a coordinate polari:
$int_(0)^(1) int_(0)^(2pi) -3r^2cosphidrdphi= -1 [sinphi]_(0)^(2pi)=0$
$int_(0)^(1) int_(0)^(2pi)3r^4cosphi= [sinphi/5]_(0)^(2pi)=0 $
Esatto.
Buona notte
Buona notte
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo