Calcolo estremi di insiemi
Salve a tutti,
ho un gran dubbio su una tipologia di esercizi che mi sono trovato ad affrontare per la prima volta, e che non ho idea di come muovermi.
L'esercizio richiede di calcolare l'estremo superi di minimo o di massimo. L'insieme A è:
$ A = { x in R : xn = 17 - 1/n , n in N } ; $
$ B = { x in R : | x -2 | < 1 } $
Come dovrei procedere? Come dovrei muovermi?
Purtroppo sto cercando qualcosa su internet, ma trovo veramente ben poco. Spero voi possiate aiutarmi a togliere questi dubbi. Vi ringrazio
ho un gran dubbio su una tipologia di esercizi che mi sono trovato ad affrontare per la prima volta, e che non ho idea di come muovermi.
L'esercizio richiede di calcolare l'estremo superi di minimo o di massimo. L'insieme A è:
$ A = { x in R : xn = 17 - 1/n , n in N } ; $
$ B = { x in R : | x -2 | < 1 } $
Come dovrei procedere? Come dovrei muovermi?
Purtroppo sto cercando qualcosa su internet, ma trovo veramente ben poco. Spero voi possiate aiutarmi a togliere questi dubbi. Vi ringrazio
Risposte
L'insieme $A$ è l'insieme di tutti i numeri reali $x$ della forma
\[x_n=\dfrac{17n-1}{n^2}\]
con $n\in NN^\star$. Questa successione è (strettamente) decrescente, e evidentemente $x_n>0$ per ogni $n$. Sai che le successioni monotone ammettono certamente limite, e che questo limite coincide con l'$"inf"$. Noi vogliamo determinare l'$"inf"$, quindi per quanto detto è sufficiente calcolare il limite di $x_n$:
\[\lim x_n=0\]
Dunque
\[\inf_{n\in \mathbb{N}} x_n=0=\inf A\]
Hai che $"inf"\ A\notin A$, quindi il minimo di $A$ non esiste.
Poiché $x_n$ è decrescente, per ogni $n\ge 1$ si ha $x_1=16\ge x_n$. Segue che $\max x_n =\max A="sup"\ A=16$.
Il secondo esercizio è decisamente più semplice. Qualche idea?
\[x_n=\dfrac{17n-1}{n^2}\]
con $n\in NN^\star$. Questa successione è (strettamente) decrescente, e evidentemente $x_n>0$ per ogni $n$. Sai che le successioni monotone ammettono certamente limite, e che questo limite coincide con l'$"inf"$. Noi vogliamo determinare l'$"inf"$, quindi per quanto detto è sufficiente calcolare il limite di $x_n$:
\[\lim x_n=0\]
Dunque
\[\inf_{n\in \mathbb{N}} x_n=0=\inf A\]
Hai che $"inf"\ A\notin A$, quindi il minimo di $A$ non esiste.
Poiché $x_n$ è decrescente, per ogni $n\ge 1$ si ha $x_1=16\ge x_n$. Segue che $\max x_n =\max A="sup"\ A=16$.
Il secondo esercizio è decisamente più semplice. Qualche idea?
"Plepp":
L'insieme $A$ è l'insieme di tutti i numeri reali $x$ della forma
\[x_n=\dfrac{17n-1}{n^2}\]
Al denominatore, perchè n^2 o non n?
\[xn=\dfrac{17n-1}{n}\iff x=\dfrac{17n-1}{n^2}\]
@ Plepp: Credo che lo OP intendesse \(x_n\) quando ha scritto \(xn\)... Insomma c'è un typo. 
ah ok... ma non capisco ancora il perchè...scusa la mia ignoranza! 
"gugo82":
@ Plepp: Credo che lo OP intendesse \(x_n\) quando ha scritto \(xn\)... Insomma c'è un typo.
Ouh, è probabile
Ad ogni modo, @mydrak, il procedimento da seguire è abbastanza standard e simile a quello che ho seguito nel mio primo post. Che ne dici, ci provi tu?
si, esatto, intendevo x_n
grazie tantissimo...perciò se non erro...diventerebbe:
$ x_n = (17n- 1)/n $
il quale facendo il lim
$ lim_(x -> oo ) x_n = 17 $
...quindi 17...è un estremo...superiore???? giusto?
Sto dicendo eresie???
$ x_n = (17n- 1)/n $
il quale facendo il lim
$ lim_(x -> oo ) x_n = 17 $
...quindi 17...è un estremo...superiore???? giusto?
Sto dicendo eresie???
Esatto
E l'$"inf"$?
E l'$"inf"$?
mmm...non esiste...??? (ho detto una cavolata vero? )
Eggià xD perché dovrebbe non esistere?
allora... l'ho sparata con tutta sincerità...allora...
considerando che zero non si può utilizzare, in quanto viene -infinito... allora proverei con n=1.
Il risultato che mi uscirebbe sarebbe 16,5....ciò sta a significare che si tratti dell'estremo inferiore????...?
il ragionamento è esatto?
considerando che zero non si può utilizzare, in quanto viene -infinito... allora proverei con n=1.
Il risultato che mi uscirebbe sarebbe 16,5....ciò sta a significare che si tratti dell'estremo inferiore????...?
il ragionamento è esatto?
"mydrak":
proverei con n=1.
Il risultato che mi uscirebbe sarebbe 16,5....ciò sta a significare che si tratti dell'estremo inferiore????...?
il ragionamento è esatto?
Perdonami, ma qual'è il ragionamento? A me sembra che tu continui a tirare ad indovinare, e non va bene. Bisogna basare le proprie affermazioni su delle certezze fornite da un ragionamento (fa niente se è sbagliato, perlomeno sai argomentare quanto affermi)
Innanzitutto, $x_1=16$, non $16,5$ (da dove l'hai tirato fuori?! xD)
Uno studio superficiale della successione $\{x_n\}$ ti porta a dire che essa è monotona crescente. Di conseguenza per ogni $n\in NN\setminus\{0\}$ hai $16=x_1\le x_n$. Per definizione, ciò vuol dire che $x_1$ è il minimo della successione (vabbè, e quindi anche l'estremo inferiore).
ahhhhhhhhhhh...sisi giusto. Ho sbagliato a dire, ma volevo dire 16, ma ora ho capito il senso del ragionamento molto bene! perfetto...
invece per quanto riguarda:
$ B = { x in R : | x -2 | < 1 } $
...quì, dovreo suddividere il modulo... cioè per
$ x - 2 ; x > 2 $
$ 2 - x ; x < 2 $
e dire che:
$ x - 2 < 1; x > 2 $
$ 2 - x < 1 ; x < 2 $
quindi che
$ x > 3 ; x > 2 $
$ x < 1 ; x < 2 $
...e se tutto ciò è giusto...come riesco ad estrapolare estremo superiore e inferiore, se esistono, non trovandomi nel caso precedente, con n da poter "muovere"??....scusami se può essere una banalità o se mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua.... però non riesco ad arrivarci...
invece per quanto riguarda:
$ B = { x in R : | x -2 | < 1 } $
...quì, dovreo suddividere il modulo... cioè per
$ x - 2 ; x > 2 $
$ 2 - x ; x < 2 $
e dire che:
$ x - 2 < 1; x > 2 $
$ 2 - x < 1 ; x < 2 $
quindi che
$ x > 3 ; x > 2 $
$ x < 1 ; x < 2 $
...e se tutto ciò è giusto...come riesco ad estrapolare estremo superiore e inferiore, se esistono, non trovandomi nel caso precedente, con n da poter "muovere"??....scusami se può essere una banalità o se mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua.... però non riesco ad arrivarci...
Più semplicemente,
\[|x-2|<1\iff -1
Ti ricordo una caratterizzazione dell'estremo superiore di sottoinsiemi di $RR$:
\[M=\sup A\iff \begin{cases}M\ \text{e' un maggiorante di}\ A\\ \text{Ogni numero reale piu' piccolo di}\ M\ \text{non e' un maggiorante di}\ A\end{cases}\]
\[|x-2|<1\iff -1
Ti ricordo una caratterizzazione dell'estremo superiore di sottoinsiemi di $RR$:
\[M=\sup A\iff \begin{cases}M\ \text{e' un maggiorante di}\ A\\ \text{Ogni numero reale piu' piccolo di}\ M\ \text{non e' un maggiorante di}\ A\end{cases}\]
Allora... non esistono estremi superiori nè estremi inferiori, nè massimo e nè minimi, in quanto, secondo le definizioni...
un certo k si dice estremo superiore di un certo insieme quando coincide con il piu piccolo dei maggioranti, e viceversa, un certo k si dice estremo inferiore, per un certo insieme, quando coincide con il piu grande dei minoranti...
Dato che non esistono nè maggioranti, nè minoranti, perchè, preso un "a "appartenente ad A; "a" sarà >= k, dove k risulterebbe, in questo caso il piu piccolo dei maggioranti, e quindi un estremo superiore....
Stesso ragionamento vale per l'estremo inferiore, con un certo "a"<= k, dove k, in questo, risulterebbe il piu grande dei minoranti, e quindi un estremo inferiore... è esatto il ragionamento?
un certo k si dice estremo superiore di un certo insieme quando coincide con il piu piccolo dei maggioranti, e viceversa, un certo k si dice estremo inferiore, per un certo insieme, quando coincide con il piu grande dei minoranti...
Dato che non esistono nè maggioranti, nè minoranti, perchè, preso un "a "appartenente ad A; "a" sarà >= k, dove k risulterebbe, in questo caso il piu piccolo dei maggioranti, e quindi un estremo superiore....
Stesso ragionamento vale per l'estremo inferiore, con un certo "a"<= k, dove k, in questo, risulterebbe il piu grande dei minoranti, e quindi un estremo inferiore... è esatto il ragionamento?
Come sarebbe "non esistono estremi superiori nè estremi inferiori"? 
Ogni* sottoinsieme di $RR$ ammette estremo superiore ed estremo inferiore!
Un maggiorante di $B$ certo che esiste! Un maggiorante di un insieme $X$ è un numero reale $M$ tale che ogni elemento $x$ di $X$ sia $\le M$.
Nel tuo caso, un maggiorante di $B=(1,3)$, per esempio, è $M=5000$, giacché preso un qualsiasi numero reale $x$ tra $1$ e $3$ hai che $x\le M$. Tu vuoi determinare l'estremo superiore di $B=(1,3)$, ovvero il più piccolo dei suoi maggioranti.
Bene, suppongo siamo d'accordo sul fatto che $3$ sia un maggiorante. Scegli ora un qualsiasi $x<3$. Può $x$ essere un maggiorante di $B$?
________________________________________________________
[size=85]*una volta convenuto di porre $"sup"\ A=+\infty$ se $A$ è illimitato superiormente.[/size]
Ogni* sottoinsieme di $RR$ ammette estremo superiore ed estremo inferiore!
Un maggiorante di $B$ certo che esiste! Un maggiorante di un insieme $X$ è un numero reale $M$ tale che ogni elemento $x$ di $X$ sia $\le M$.
Nel tuo caso, un maggiorante di $B=(1,3)$, per esempio, è $M=5000$, giacché preso un qualsiasi numero reale $x$ tra $1$ e $3$ hai che $x\le M$. Tu vuoi determinare l'estremo superiore di $B=(1,3)$, ovvero il più piccolo dei suoi maggioranti.
Bene, suppongo siamo d'accordo sul fatto che $3$ sia un maggiorante. Scegli ora un qualsiasi $x<3$. Può $x$ essere un maggiorante di $B$?
________________________________________________________
[size=85]*una volta convenuto di porre $"sup"\ A=+\infty$ se $A$ è illimitato superiormente.[/size]
allora... no esistono maggioranti minori di 3, in quanto 3 dovrebbe essere il piu piccolo dei maggioranti, giusto? quindi...l'estremo superiore?
Hai detto, tradotto in matematichese, "$3$ è l'estremo superiore perché $3$ è l'estremo superiore". Che $3$ sia l'estremo superiore è proprio quello che stai cercando di dimostrare!
Prendi un numero $x$ minore di $3$. Se questo fosse un maggiorante di $B$, ogni elemento di $B$ sarebbe minore o uguale a $x$. E' mai possibile? Perché? (ti conviene aiutarti con un disegno).
Prendi un numero $x$ minore di $3$. Se questo fosse un maggiorante di $B$, ogni elemento di $B$ sarebbe minore o uguale a $x$. E' mai possibile? Perché? (ti conviene aiutarti con un disegno).
allora... io è come se immaginassi un intervallo di numeri che và da 1 a 3. Ora, secondo le definizioni che mi trovo davanti, se un certo insieme fosse compreso tra 2 numeri, quindi A: [a,b], b sarebbe un estremo superiore e a sarebbe un estremo inferiore. E lo stesso ragionamento sto facendo.
Sto penso che l'insieme B che va da 1 a 3, dove 1 e 3 non sono compresi in questo sottoinsieme di R.
Dalla domanda che mi fai, mi verrebbe da pensare che... se 3 non è il piu piccolo dei maggioranti, perciò estremo superiore, e se esistesse una x minore di 3, tale che possa essere un maggiorante...vorrebbe dire che.... e quì mi si oscura tutto!
Sto penso che l'insieme B che va da 1 a 3, dove 1 e 3 non sono compresi in questo sottoinsieme di R.
Dalla domanda che mi fai, mi verrebbe da pensare che... se 3 non è il piu piccolo dei maggioranti, perciò estremo superiore, e se esistesse una x minore di 3, tale che possa essere un maggiorante...vorrebbe dire che.... e quì mi si oscura tutto!
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