Calcolo estremanti con Taylor

[Davide96milano]

Sono nel panico non mi escono più gli esercizi sotto esame aiutatemi per favore ahahaha.
Dovrei calcolare per quale valore della costante a la funzione
$ f(x)=(sinx)log(1+x-ax^2)-x(e^x-1) $
presenta un estremante in x=0 e determinarne la natura.
So che grazie al polinomio di Taylor con il resto di Peano posso determinare il carattere dell'estremante considerando se la prima derivata che non si annulla ha ordine pari (massimo/minimo) o dispari(flesso).
Per cui inizio a sviluppare e mi trovo
$ (x+o(x^2))*(x-ax^2-(x-ax^2)^2/2+o(x^2))-x(x+x^2/2+x^3/3+o(x^3)) $
$ x^2-ax^3-x^3+2ax^4-x^3/2-x^4/3+o(x^4) $
$ (-a-3/2)x^3+(2a-1/3)x^4 $
per cui se $ x = -3/2 $ si annulla la derivata di 3 ordine e la prima non nulla è la 4 che ha coefficiente negativo quindi è un minimo
se invece $ x != -3/2 $ si annulla solo fino alla seconda quindi la prima non nulla è la 3 e quindi o è un massimo o è un minimo.
Anche se non credo assolutamente sia giusto il mio procedimento in quanto se io vado a sviluppare a ordini superiori mi escono coefficienti diversi vi prego ditemi se il procedimento è esatto e se le considerazioni sono giuste.

[Rigel1]

Devi sviluppare almeno fino al quarto ordine; dovrebbe venire qualcosa del tipo
\[
f(x) = -(1+a) x^3 + a x^4 + o(x^4).
\]
Di conseguenza, se \(a\neq -1\) il punto non è né di estremo relativo, mentre per \(a = -1\) il punto è di massimo relativo.