Calcolo equazione differenziale del primo ordine non lineare

[Qwerty79]

Ciao,
mi viene chiesto di risolvere la seguente equazione differenziale

$y^i=(2x+y)^2$

penso di doverla risolvere con il metodo delle variabili separabili, ma non riesco a ricondurla alla forma

$y^i(x)=a(x)*b(y)$

qualche indicazione ?
Grazie

[Qwerty79]

provo a risolvere l'esercizio nel seguente modo

pongo $u=2x+y$

a questo punto ho $(u-2x)^i=u^2$

procedo con la formula delle variabili separabili ed ottengo

$\int(1/(u^2+2))=\int dt$

risolvendo gli integrali la mia soluzione generale è
$1/sqrt2 arctan(u/sqrt2)=t+c$

risostituendo ottengo

$1/sqrt2 arctan((2x+y)/sqrt2)=x+c$

secondo voi è corretto?

[pilloeffe]

Ciao Qwerty79,

"Qwerty79":secondo voi è corretto?

No, non è corretto. Cosa stai studiando? Sei sicuro del testo?
L'equazione differenziale $y' = (2x + y)^2 $ è un'equazione differenziale di Riccati...

[Qwerty79]

Quindi prima espando il quadrato

$y^i=4x^2+4xy+y^2$

e poi applicato la formula $C(x)z^(ii)-(C^i(x)+B(x)C(x))z^i+C(x)^2A(x)z$

cosi facendo la mia equazione diventa $z^(ii)-4xz^i+4x^2z=0$

ed ora?? mi trovo con un 'equazione del secondo ordine a coefficienti variabili (fossero stati costanti sapevo procedere)

[pilloeffe]

In effetti riguardando meglio la tua soluzione iniziale è corretta, a parte una $t$ che poi diventa una $x$:

"Qwerty79":risostituendo ottengo

$1/sqrt2 arctan((2x+y)/sqrt2)=x+c $

Da qui poi però devi isolare $u(x) $ e quindi ricavare $y(x)$:

$1/sqrt2 arctan((2x+y)/sqrt2) = x+c $

$ arctan((2x+y)/sqrt2) = sqrt2 x + sqrt2 c $

$ (2x+y)/sqrt2 = tan(sqrt2 x + sqrt2 c) $

$2x + y = sqrt2 tan(sqrt2 x + sqrt2 c) $

$y = y(x) = sqrt2 tan(sqrt2 x + sqrt2 c) - 2x $

[Qwerty79]

ti ringrazio per i passaggi per isolare la y(x), come ultima cosa mi rimane da definire l'insieme di esistenza della soluzione. Immagino di dover escludere i valori in cui
$sqrt(2)x+sqrt(2)c = pi/2$, visto che la $tan$ non è definita a $pi/2$ basta indicare $x!=pi/(2sqrt(2))$?

[pilloeffe]

Mah, nel dubbio scriverei

$ sqrt2 x+sqrt2 c \ne pi/2 + k\pi \qquad k \in \ZZ $

Poi farei qualche indagine supplementare sui possibili valori di $k$
Per qualche motivo che mi sfugge sai già che $c = 0$?

[Qwerty79]

Ho capito l'errore che ho fatto nell'ignorare $c$ ma non capisco che tipo di indagine dovrei fare su $k$

[pilloeffe]

Il dominio naturale di definizione della soluzione di un'equazione differenziale, cioè l'intervallo in cui ha senso la soluzione, può essere un insieme più piccolo di quello dove è definita la funzione $a(x) $ (quella che hai scritto nell'OP): nel caso in esame esso è $(-\pi/2, \pi/2) $, quindi di fatto $ k = -1$ oppure $k = 0 $

[Qwerty79]

Se volessi risolverla come equazione di Riccati come si procede ?

[dissonance]

"Qwerty79":Se volessi risolverla come equazione di Riccati come si procede ?

http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode-toc1.htm