Calcolo equazione differenziale del primo ordine
Buongiorno ragazzi, davanti al seguente quesito:
"Calcolo dell'integrale generale di una equazione differenziale del primo ordine lineare, caso omogeneo e caso non omogeneo"
Per quanto riguarda il caso non omogeneo, dato il problema di Cauchy
$ { ( y'=a(x)y+b(x) ),( y(x_0)=y_0 ):} $
Si applica la formula risolutiva
$ y(x)=e^(A(x))(y_0+int_(x_0)^xe^(-A(x))b(t)dt) $
La domanda è: la seguente formula vale anche nel caso omogeneo? In caso contrario, qual è la formula risolutiva? Ringrazio in anticipo
"Calcolo dell'integrale generale di una equazione differenziale del primo ordine lineare, caso omogeneo e caso non omogeneo"
Per quanto riguarda il caso non omogeneo, dato il problema di Cauchy
$ { ( y'=a(x)y+b(x) ),( y(x_0)=y_0 ):} $
Si applica la formula risolutiva
$ y(x)=e^(A(x))(y_0+int_(x_0)^xe^(-A(x))b(t)dt) $
La domanda è: la seguente formula vale anche nel caso omogeneo? In caso contrario, qual è la formula risolutiva? Ringrazio in anticipo
Risposte
Generalmente si parte dal caso più semplice, cioè l'equazione omogenea che è immediatamente risolvibile essendo del tipo a variabili separabili.
$y ' =a(x) y$
$y(x_0)=y_0$.
per arrivare alla soluzione di quella non omogenea.
$y ' =a(x) y$
$y(x_0)=y_0$.
per arrivare alla soluzione di quella non omogenea.
Ti ringrazio Camillo per la risposta! Partendo proprio dal caso omogeneo, qual è la formula risolutiva utilizzata? Quella che ho inserito si può utilizzare?
Partendo proprio dal caso omogeneo, qual è la formula risolutiva utilizzata? Quella che ho inserito si può utilizzare?
Innanzitutto, chi è \(A(x)\)?
Poi, quella che hai scritto è la soluzione di quale EDO?
Poi, quella che hai scritto è la soluzione di quale EDO?
Allora, (perdonami se sbaglio), $A(x)$ è l'integrale $int_(x_0)^xa(t)dt$ che si annulla per $x=x_0$.
Questa è la soluzione di un' ED del primo ordine non omogenea, no?
P.S. O forse questa si usa per una ED del primo ordine omogenea?!
P.P.S. Tanto per quella non omogenea mi sento sicuro utilizzando il metodo urang-tang.
Questa è la soluzione di un' ED del primo ordine non omogenea, no?
P.S. O forse questa si usa per una ED del primo ordine omogenea?!
P.P.S. Tanto per quella non omogenea mi sento sicuro utilizzando il metodo urang-tang.
Scusa, deriva e vedi quale equazione è soddisfatta dalla tua soluzione.
Dunque, sono pervenuto alla conclusione che:
A) Caso omogeneo:
La formula risolutiva è:
$ y(x)=e^(A(x))(y_0+int_(x_0)^xe^(-A(x))b(t)dt) $
B) Caso non omogeneo:
$ { ( y'=a(x)y+b(x) ),( y(x_0)=y_0 ):} $
$ y(x)=e^(A(x))(y_0+int_(x_0)^xe^(-A(x))b(t)dt) $ NON è la formula risolutiva.
Giusto?
A) Caso omogeneo:
La formula risolutiva è:
$ y(x)=e^(A(x))(y_0+int_(x_0)^xe^(-A(x))b(t)dt) $
B) Caso non omogeneo:
$ { ( y'=a(x)y+b(x) ),( y(x_0)=y_0 ):} $
$ y(x)=e^(A(x))(y_0+int_(x_0)^xe^(-A(x))b(t)dt) $ NON è la formula risolutiva.
Giusto?
E che ne sò... Mostrami i tuoi conti.
P.S.: Te lo ripeto: cambia libro di Analisi. Ed aggiungo: cerca di non imparare formule a memoria.
P.S.: Te lo ripeto: cambia libro di Analisi. Ed aggiungo: cerca di non imparare formule a memoria.
Mi sono sbagliato. Vale anche per la non omogenea (è giusto?).
Scusami se ti sto facendo perdere del tempo (Perdonami)
Scusami se ti sto facendo perdere del tempo (Perdonami)
Ah, non so se hai sbagliato o no... Continui a non postare conti: come faccio a darti una risposta?
Ma conti in che senso? Quella formula che ho postato è una formula nota, volevo sapere solo se valeva per entrambi i casi.. Immagino di aver oltrepassato la soglia della tua pazienza ma credimi, oltre non riesco ad andare questi sono i miei limiti (per ora)
Guarda, non hai oltrepassato nulla...
Semplicemente, se non posti uno straccio di ragionamento tuo (non una formula e basta), diventa impossibile capire se hai compreso ciò che stai studiando o se hai solo imparato a memoria delle formule, sperando che noi ti cavassimo le castagne dal fuoco al posto tuo riguardo la teoria.
Visto che lo spirito del forum non è quello di fornire dei tutor privati, è meglio che ci mostri come ragioni, prima di chiedere altro.
Semplicemente, se non posti uno straccio di ragionamento tuo (non una formula e basta), diventa impossibile capire se hai compreso ciò che stai studiando o se hai solo imparato a memoria delle formule, sperando che noi ti cavassimo le castagne dal fuoco al posto tuo riguardo la teoria.
Visto che lo spirito del forum non è quello di fornire dei tutor privati, è meglio che ci mostri come ragioni, prima di chiedere altro.
gugo82, hai perfettamente ragione.
P.S. Ho risolto, grazie a tutti ragazzi
P.S. Ho risolto, grazie a tutti ragazzi
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