Calcolo dominio di una funzione
Il mio esercizio dice:
Data la funzione:
$ sqrt(( x + e^2) / ( (pi-x) (x-2009) (x+2) )) $
calcolarne il dominio
Allora io metterei a sistema:
$ \ {(x+e^2 >= 0) , (pi-x !=0) , (x-2009 !=0), (x+2 !=0):} $
e trovo che:
$ \{ (x>= - e^2) , (x !=pi) , (x !=2009) , (x != -2) :} $
facendo i disegnini:
nota: ------- campo non colorato
xxxxxxxxx campo colorato
() valore compreso
------$(-e^2)$xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx -2 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx $pi$ xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2009 xxxxxxx
trovo che la soluzione è:
[$e^2$ , -2) U (-2, $pi$) U ($pi$, 2009) U (2009, + infinito)
però la soluzione che trovo è sbagliata, perchè il risultato dovrebbe venire:
( $- e^2$ , -2) U ($pi$, 2009)
e non capisco dove sbaglio..
qualcuno di voi me lo sa spiegare??
Grazie in anticipo..
Data la funzione:
$ sqrt(( x + e^2) / ( (pi-x) (x-2009) (x+2) )) $
calcolarne il dominio
Allora io metterei a sistema:
$ \ {(x+e^2 >= 0) , (pi-x !=0) , (x-2009 !=0), (x+2 !=0):} $
e trovo che:
$ \{ (x>= - e^2) , (x !=pi) , (x !=2009) , (x != -2) :} $
facendo i disegnini:
nota: ------- campo non colorato
xxxxxxxxx campo colorato
() valore compreso
------$(-e^2)$xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx -2 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx $pi$ xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2009 xxxxxxx
trovo che la soluzione è:
[$e^2$ , -2) U (-2, $pi$) U ($pi$, 2009) U (2009, + infinito)
però la soluzione che trovo è sbagliata, perchè il risultato dovrebbe venire:
( $- e^2$ , -2) U ($pi$, 2009)
e non capisco dove sbaglio..
qualcuno di voi me lo sa spiegare??
Grazie in anticipo..
Risposte
Innanzitutto, benvenuto e buona permanenza.
Ammesso che è il tuo primo messaggio, ti faccio presente che:
1) hai sbagliato sezione: se sei uno studente di una scuola secondaria di secondo grado posta nella sezione omonima, se sei uno studente universitario posta in analisi;
2) il codice MathML ed il codice TeX consentono di scrivere formule complete, evitando di lasciare formule mozze: è fortemente consigliato evitare questa composizione di stili e qui trovi le istruzioni complete.
3) per disegnare i grafici ci sono le istruzioni, in alternativa puoi allegare una immagine caricandola su Imageshack et similia.
Detto questo il sistema è sbagliato perché devi porre che denominatore e numeratore siano concordi, i.e. devi studiare anche il segno del denominatore.
Ammesso che è il tuo primo messaggio, ti faccio presente che:
1) hai sbagliato sezione: se sei uno studente di una scuola secondaria di secondo grado posta nella sezione omonima, se sei uno studente universitario posta in analisi;
2) il codice MathML ed il codice TeX consentono di scrivere formule complete, evitando di lasciare formule mozze: è fortemente consigliato evitare questa composizione di stili e qui trovi le istruzioni complete.
3) per disegnare i grafici ci sono le istruzioni, in alternativa puoi allegare una immagine caricandola su Imageshack et similia.
Detto questo il sistema è sbagliato perché devi porre che denominatore e numeratore siano concordi, i.e. devi studiare anche il segno del denominatore.
grazie mille per i consigli. Comunque in che senso devo studiare il segno??
Non è che qualcuno sia così gentile da indicarmi i passaggi mancanti.. così riesco a capire!!
Grazie mille..
Non è che qualcuno sia così gentile da indicarmi i passaggi mancanti.. così riesco a capire!!
Grazie mille..
Hai da determinare la più grande parte di [tex]\mathbb{R}[/tex] in cui ha senso operare con l'espressione [tex]\displaystyle \sqrt{\frac{x+e^{2}}{(\pi-x)(x-2009)(x+2)}[/tex]: il radicando deve essere [tex]\geqslant 0[/tex]; tu hai posto [tex]x+e^{2}\geqslant0[/tex], quindi hai imposto la positività del numeratore della frazione che fa da radicando, poi hai posto [tex]\pi-x\neq0 \land x-2009\neq0 \land x+2\neq0[/tex], i.e. hai imposto che il denominatore della frazione non si annulli, ma non hai imposto che la frazione sia positiva.
Quello che devi fare è risolvere [tex]\displaystyle \frac{x+e^{2}}{(\pi-x)(x-2009)(x+2)}\geqslant0[/tex].
Quello che devi fare è risolvere [tex]\displaystyle \frac{x+e^{2}}{(\pi-x)(x-2009)(x+2)}\geqslant0[/tex].
Sarebbe stato corretto se la funzione fosse stata:
$ f(x) = sqrt( x + e^2) / ( (pi-x) (x-2009) (x+2) ) $
$ f(x) = sqrt( x + e^2) / ( (pi-x) (x-2009) (x+2) ) $
ah.. forse ho capito.. grazie mille.
Quindi, da quanto ho capito devo mettere nel sistema anche che:
$(pi-x)(x-2009)(x+2) > 0$
quindi devo risolvere, quindi, dato che sono ridotti ai minimi termini li moltiplico:
$(pi-x)(x^2 + 2x -2009x -4018)$
$(pi-x)(x^2 -2007x -4018)$
ora non so come si procede, nel senso:
1. devo risolvere $x^2 -2007x -4018$ con $x1,2= (-b +- sqrt (b^2 - 4ac)) / (2a)$
e quindi viene che
$x=(+2007+- sqrt(-2009^2 - (4*1*(-4018)))) /(2*1) $
$x=(2007 +- sqrt (4036081 -( - 16072))) / 2 $
$x= (2007 +- sqrt(4052153)) / 2 $
$x1=(2007 + sqrt(4052153))/2 $ e $x2=(2007-sqrt(4052153)) /2 $
a questo punto ho trovato le mie $x$ però ho ancora $ pi-x$ cosa devo fare?
impostare che $pi-x$ sia $>0$ e poi andare a sostituire la $x$ con quelle ho ricavato, perciò:
$pi-x>0$ si divide in:
a. $pi-(2007 + sqrt(4052153))/2 >0$ ( questo all'incirca è -2006)
b. $pi-(2007 -sqrt(4052153)) /2 >0$ (questo all'incirca è + 6)
quindi dico che la mia $x$ deve essere compresa tra quseti valori??
$-2006
oppure non devo usare la formula e moltipilcare tutto, così:
2. $(pi-x)(x^2-2007x-4018)$
$(pix^2-2007pix-4018pi - x^3-2007x^2 -4018x)$
$(-x^3-2007x^2+pix^2 -6025pix - 4018pi) $
e in questo caso come si risolve??
Grazie a chiunque mi risponda..
Quindi, da quanto ho capito devo mettere nel sistema anche che:
$(pi-x)(x-2009)(x+2) > 0$
quindi devo risolvere, quindi, dato che sono ridotti ai minimi termini li moltiplico:
$(pi-x)(x^2 + 2x -2009x -4018)$
$(pi-x)(x^2 -2007x -4018)$
ora non so come si procede, nel senso:
1. devo risolvere $x^2 -2007x -4018$ con $x1,2= (-b +- sqrt (b^2 - 4ac)) / (2a)$
e quindi viene che
$x=(+2007+- sqrt(-2009^2 - (4*1*(-4018)))) /(2*1) $
$x=(2007 +- sqrt (4036081 -( - 16072))) / 2 $
$x= (2007 +- sqrt(4052153)) / 2 $
$x1=(2007 + sqrt(4052153))/2 $ e $x2=(2007-sqrt(4052153)) /2 $
a questo punto ho trovato le mie $x$ però ho ancora $ pi-x$ cosa devo fare?
impostare che $pi-x$ sia $>0$ e poi andare a sostituire la $x$ con quelle ho ricavato, perciò:
$pi-x>0$ si divide in:
a. $pi-(2007 + sqrt(4052153))/2 >0$ ( questo all'incirca è -2006)
b. $pi-(2007 -sqrt(4052153)) /2 >0$ (questo all'incirca è + 6)
quindi dico che la mia $x$ deve essere compresa tra quseti valori??
$-2006
oppure non devo usare la formula e moltipilcare tutto, così:
2. $(pi-x)(x^2-2007x-4018)$
$(pix^2-2007pix-4018pi - x^3-2007x^2 -4018x)$
$(-x^3-2007x^2+pix^2 -6025pix - 4018pi) $
e in questo caso come si risolve??
Grazie a chiunque mi risponda..
"Seneca":
Sarebbe stato corretto se la funzione fosse stata:
$ f(x) = sqrt( x + e^2) / ( (pi-x) (x-2009) (x+2) ) $
Sì, se la funzione fosse stata quella, allora il tuo sistema sarebbe stato corretto.
Quello che viene nel posta successivo è alquanto confuso. Non devi mettere a sistema [tex](\pi -x)(x-2009)(x+2)>0[/tex] con [tex]x+e^{2}[/tex]: in questo modo troverti gli intervalli in cui numeratore e denominatore sono concordi perché entrambi positivi, ma perderesti il caso in cui numeratore e denominatore sono concordi perché entrambi negativi.
Devi studiare il segno di quella frazione al variare della [tex]x[/tex].
Esempio banale: voglio studiare il segno di [tex]\displaystyle \frac{x-2}{x+1}[/tex]. Allora vedo che [tex]x-2\geqslant 0 \iff x\geqslant 2[/tex] e, conseguentemente, [tex]x-2<0 \iff x<2[/tex], poi vedo che [tex]x+1>0 \iff x> -1[/tex] e, conseguentemente, [tex]x+1<0 \iff x< -1[/tex]. Allora mi faccio un bel disegno riassuntivo e vedo che per [tex]x<-1[/tex] numeratore e denominatore sono entrambi negativi, i.e. la frazione è positiva, per [tex]-1
Devi fare la stessa con con la tua fraione. In particolare il segno del denominatore lo puoi studiare in questo modo: non c'è bisogno che moltiplichi, ma ti basta vedere il segno dei singoli fattori del denominatore e valutarne il comportamento globale.
Allora, vediamo se come mi hai suggerito tu viene, ricapitolando:
$sqrt ((x+e^2)/((pi-x)(x-2009)(x+2)))$
a questo punto metto a sistema:
$\{((A)x+e^2 >=0), ((A1)x+e^2 < 0), ((B)(pi-x)(x-2009)(x+2) != 0), ((C)(pi-x)(x-2009)(x+2) >= 0), ((D)(pi-x)(x-2009)(x+2) < 0):}$
Dopodichè suddivido i casi:
Caso A e A1
$ \{(x+e^2 >= 0 to x>= -e^2), (x+e^2 < 0 to x< -e^2):}$
Caso B
$\{((B1)pi-x != 0 to x!=pi), ((B2)x-2009 !=0 to x != 2009), ((B3)x+2 != 0 to x!= -2):}$
Caso C
$\{((C1)pi-x >=0 to x<=pi), ((C2)x-2009 >=0 to x >= 2009), ((C3)x+2 >= 0 to x>= -2):}$
Caso D
$\{((D1)pi-x < 0 to x>pi), ((D2)x-2009 <0 to x < 2009), ((D3)x+2 < 0 to x <-2):}$
quindi faccio i disegni:
fatto questo però, e lasciando anche da parte il caso B, non ci sono parti dove le soluzion sono tutte verificate, come nel post che mi hai messo tu, quindi come faccio a risalire alla soluzione finale che mi da il libro, ovvero: $(-e^2 , -2) U (pi, 2009)$??
grazie mille per l'aiuto e scusate per lo stress..
$sqrt ((x+e^2)/((pi-x)(x-2009)(x+2)))$
a questo punto metto a sistema:
$\{((A)x+e^2 >=0), ((A1)x+e^2 < 0), ((B)(pi-x)(x-2009)(x+2) != 0), ((C)(pi-x)(x-2009)(x+2) >= 0), ((D)(pi-x)(x-2009)(x+2) < 0):}$
Dopodichè suddivido i casi:
Caso A e A1
$ \{(x+e^2 >= 0 to x>= -e^2), (x+e^2 < 0 to x< -e^2):}$
Caso B
$\{((B1)pi-x != 0 to x!=pi), ((B2)x-2009 !=0 to x != 2009), ((B3)x+2 != 0 to x!= -2):}$
Caso C
$\{((C1)pi-x >=0 to x<=pi), ((C2)x-2009 >=0 to x >= 2009), ((C3)x+2 >= 0 to x>= -2):}$
Caso D
$\{((D1)pi-x < 0 to x>pi), ((D2)x-2009 <0 to x < 2009), ((D3)x+2 < 0 to x <-2):}$
quindi faccio i disegni:
fatto questo però, e lasciando anche da parte il caso B, non ci sono parti dove le soluzion sono tutte verificate, come nel post che mi hai messo tu, quindi come faccio a risalire alla soluzione finale che mi da il libro, ovvero: $(-e^2 , -2) U (pi, 2009)$??
grazie mille per l'aiuto e scusate per lo stress..
oppure devo considerare i casi singolarmente?? Facendo così il risultato mi viene, ma dovrei comnque capire una cosa, inizio a postare le immagini. Se tengo conto dei casi singolarmente faccio così:
Caso I: $-e^2
fatto questo faccio un altro grafico:
e quindi i valori che trovo ( tenendo conto che le $x$ devono essere $!=$ da $pi, 2009$ e $-2$) sono che:
$[-e^2, -2) U (pi, 2009)$ e quindi il risultato verrebbe...
però mi sorge una domanda..
Come hai detto tutto facendomi i disegnini capisco che in tutti e 3 i casi, per $x<-e^2$ sia denominatore che numeratore sono negativi e perciò la frazione è positiva, perciò come hai detto tu deduco che per:
$-e^2
$x>pi$ e $x>-2$ e $x>2009$ la frazione è positiva perchè numeratore e denominatore sono concordi.
Fin qui tutto giusto??
Ora però mi chiedo, per far si che la mia soluzione venga giusta, io devo prendere in considerazione i valori per qui la mia frazione è negativa ( con num e den discordi), quello che non ho capito è il perchè?? Io non dovrei tenere in considerazione i valori per cui la mia frazione è positiva??
grazie mille
Caso I: $-e^2
fatto questo faccio un altro grafico:
e quindi i valori che trovo ( tenendo conto che le $x$ devono essere $!=$ da $pi, 2009$ e $-2$) sono che:
$[-e^2, -2) U (pi, 2009)$ e quindi il risultato verrebbe...
però mi sorge una domanda..
Come hai detto tutto facendomi i disegnini capisco che in tutti e 3 i casi, per $x<-e^2$ sia denominatore che numeratore sono negativi e perciò la frazione è positiva, perciò come hai detto tu deduco che per:
$-e^2
$x>pi$ e $x>-2$ e $x>2009$ la frazione è positiva perchè numeratore e denominatore sono concordi.
Fin qui tutto giusto??
Ora però mi chiedo, per far si che la mia soluzione venga giusta, io devo prendere in considerazione i valori per qui la mia frazione è negativa ( con num e den discordi), quello che non ho capito è il perchè?? Io non dovrei tenere in considerazione i valori per cui la mia frazione è positiva??
grazie mille
Con calma. Hai solo fatto molta confusione con troppi grafici.
Chiediamo che sia [tex]\displaystyle \frac{x+e^{2}}{(\pi - x)(x-2009)(x+2)}\geqslant0[/tex].
Scrivere questo sistema
Non significa niente, perché un sistema richiede l'intersezione degli insiemi delle soluzioni, i.e. richiede di trovare le soluzioni comuni e, come puoi ben vedere, di soluzioni comuni non ce ne sono, tra le soluzioni di ciascuna riga del sistema.
Un modo molto semplice di procedere è questo: poniamo [tex]N(x)=x+e^{2}[/tex] e [tex]D(x)=(\pi -x )(2009-x )(x+2)[/tex] e ci studiamo i segni.
[tex]N(x)\geqslant 0 \iff x+e^{2}\geqslant 0 \iff x\geqslant -e^{2}[/tex]
[tex]D(x)=(\pi - x)(x-2009)(x+2) \geqslant 0[/tex] qui la cosa è un pochino più complessa ed allora ricorro ad un primo grafico
[asvg]noaxes();
marker="arrow";
line([-5,4],[5,4]);
text([5,4],"R",right);
dot([1.14,4]);
text([1.14,4],"pi",above);
dot([-2,4]);
text([-2,4],"-2",above);
dot([2.5,4]);
text([2.5,4],"2009",above);
marker="none";
line([-2,4],[-2,0]);
line([-5,3],[4,3]);
line([1.14,4],[1.14,0]);
line([-5,2],[4,2]);
line([2.5,4],[2.5,0]);
line([-5,1],[4,1]);
text([-2,3],"0",below);
text([1.14,2],"0",below);
text([2.5,1],"0",below);
text([4,3],"x+2",right);
text([4,2],"pi -x",right);
text([4,1],"x-2009",right);
text([-0.5,2],"+",below);
text([-3.5,2],"+",below);
text([1.6,2],"-",below);
text([3.3,2],"-",below);
text([-0.5,3],"+",below);
text([-3.5,3],"-",below);
text([1.6,3],"+",below);
text([3.3,3],"+",below);
text([-0.5,1],"-",below);
text([-3.5,1],"-",below);
text([1.6,1],"-",below);
text([3.3,1],"+",below);
line([-5,0],[4,0]);
text([4,0],"D(x)",right);
text([-0.5,0],"-",below);
text([-3.5,0],"+",below);
text([1.6,0],"+",below);
text([3.3,0],"-",below);
text([-2,0],"0",below);
text([1.14,0],"0",below);
text([2.5,0],"0",below);[/asvg]
dove la prima retta orientata rappresenta l'insieme [tex]\mathbb{R}[/tex], mentre le altre rette rappresentano i segni dei termini segnati di fianco: i segni su [tex]D(x)[/tex] sono ricavati col prodotto dei segni, quelli per [tex]\pi-x, 2009-x,x+2[/tex] sono ricavati risolvendo [tex]\pi-x>0,2009-x>0,x+2>0[/tex], rispettivamente.
Quindi, infine, mi faccio un unico grafico per tutta la frazione, ricordando che gli zeri del denominatore non vanno presi nella soluzione finale:
[asvg]noaxes();
marker="arrow";
line([-5,4],[5,4]);
text([5,4],"R",right);
dot([1.14,4]);
text([1.14,4],"pi",above);
dot([-2,4]);
text([-2,4],"-2",above);
dot([2.5,4]);
text([2.5,4],"2009",above);
dot([-4,4]);
text([-4,4],"-e^2",above);
marker="none";
line([-4,4],[-4,1]);
line([-2,4],[-2,1]);
line([1.14,4],[1.14,1]);
line([2.5,4],[2.5,1]);
line([-5,3],[4,3]);
line([-5,2],[4,2]);
text([4,3],"N(x)",right);
text([4,2],"D(x)",right);
text([-4,3],"0",below);
text([-0.5,3],"+",below);
text([-4.5,3],"-",below);
text([-3.5,3],"+",below);
text([1.6,3],"+",below);
text([3.3,3],"+",below);
text([-0.5,2],"-",below);
text([-4.5,2],"+",below);
text([-3.5,2],"+",below);
text([1.6,2],"+",below);
text([3.3,2],"-",below);
text([-2,2],"0",below);
text([1.14,2],"0",below);
text([2.5,2],"0",below);
line([-5,1],[4,1]);
text([-2,1],"0",below);
text([1.14,1],"0",below);
text([2.5,1],"0",below);
text([-4,1],"0",below);
text([4,1],"N(x)/D(x)",right);
text([-0.5,1],"-",below);
text([-4.5,1],"-",below);
text([-3.5,1],"+",below);
text([1.6,1],"+",below);
text([3.3,1],"-",below);[/asvg]
E quindi traggo le soluzioni che mi occorrono.
Chiediamo che sia [tex]\displaystyle \frac{x+e^{2}}{(\pi - x)(x-2009)(x+2)}\geqslant0[/tex].
Scrivere questo sistema
"jade.87":
[...]
$\{((A)x+e^2 >=0), ((A1)x+e^2 < 0), ((B)(pi-x)(x-2009)(x+2) != 0), ((C)(pi-x)(x-2009)(x+2) >= 0), ((D)(pi-x)(x-2009)(x+2) < 0):}$
[...]
Non significa niente, perché un sistema richiede l'intersezione degli insiemi delle soluzioni, i.e. richiede di trovare le soluzioni comuni e, come puoi ben vedere, di soluzioni comuni non ce ne sono, tra le soluzioni di ciascuna riga del sistema.
Un modo molto semplice di procedere è questo: poniamo [tex]N(x)=x+e^{2}[/tex] e [tex]D(x)=(\pi -x )(2009-x )(x+2)[/tex] e ci studiamo i segni.
[tex]N(x)\geqslant 0 \iff x+e^{2}\geqslant 0 \iff x\geqslant -e^{2}[/tex]
[tex]D(x)=(\pi - x)(x-2009)(x+2) \geqslant 0[/tex] qui la cosa è un pochino più complessa ed allora ricorro ad un primo grafico
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dove la prima retta orientata rappresenta l'insieme [tex]\mathbb{R}[/tex], mentre le altre rette rappresentano i segni dei termini segnati di fianco: i segni su [tex]D(x)[/tex] sono ricavati col prodotto dei segni, quelli per [tex]\pi-x, 2009-x,x+2[/tex] sono ricavati risolvendo [tex]\pi-x>0,2009-x>0,x+2>0[/tex], rispettivamente.
Quindi, infine, mi faccio un unico grafico per tutta la frazione, ricordando che gli zeri del denominatore non vanno presi nella soluzione finale:
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text([1.14,2],"0",below);
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text([-4.5,1],"-",below);
text([-3.5,1],"+",below);
text([1.6,1],"+",below);
text([3.3,1],"-",below);[/asvg]
E quindi traggo le soluzioni che mi occorrono.
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