Calcolo differenziale: derivate e polinomi di Taylor
Ciao ragazzi.
Stiamo studiando le derivate delle funzioni in più variabili, io ho seguito il corso di Complementi di Matematica senza frequentare Matematica del continuo dello scorso anno, perché arrivo da un'altra università. Sono un po' arruginita sugli sviluppi di Taylor, perciò chiedo a voi delucidazioni riguardo a questa dimostrazione eseguita dal prof a lezione.
Siamo in $\RR^n$, $x, v \in \RR^n, n \ge 2$ e vogliamo calcolare la derivata di $||x||$.
$||x + v|| = ( ||x + v||^2) ^ {1/2} = (||x|| ^ 2 + 2 + ||v||^2)^{1/2} = ||x|| * {1 + (2* )/||x||^2 + ||v||^2 / ||x||^2}^{1/2}$
A questo punto, il mio professore, nominando i polinomi di Taylor , ha posto:
$1/2 \epsilon = 1/2 * {1 + (2*)/||x||^2 + ||v||^2 / ||x||^2} = ()/||x||^2 + o(||v||)$.
Ha poi concluso evidenziando che :
$||x + v|| = ||x|| + ( )/||x|| + o(||v||)$ e che, quindi, la derivata direzionale di $||x||$ lungo $v$ è $ ()/||x||$.
La parte che non capisco è proprio quella in cui viene usato Taylor, perché vale quell'equivalenza?
Spero di essere stata chiara e che qualcuno possa aiutarmi!
Stiamo studiando le derivate delle funzioni in più variabili, io ho seguito il corso di Complementi di Matematica senza frequentare Matematica del continuo dello scorso anno, perché arrivo da un'altra università. Sono un po' arruginita sugli sviluppi di Taylor, perciò chiedo a voi delucidazioni riguardo a questa dimostrazione eseguita dal prof a lezione.
Siamo in $\RR^n$, $x, v \in \RR^n, n \ge 2$ e vogliamo calcolare la derivata di $||x||$.
$||x + v|| = ( ||x + v||^2) ^ {1/2} = (||x|| ^ 2 + 2
A questo punto, il mio professore, nominando i polinomi di Taylor , ha posto:
$1/2 \epsilon = 1/2 * {1 + (2*
Ha poi concluso evidenziando che :
$||x + v|| = ||x|| + (
La parte che non capisco è proprio quella in cui viene usato Taylor, perché vale quell'equivalenza?
Spero di essere stata chiara e che qualcuno possa aiutarmi!
Risposte
mi dispiace ma non ho capito..
Non ho mai visto Taylor in questa forma poi proprio al corso di algebra lineare e geometria
Non ho mai visto Taylor in questa forma poi proprio al corso di algebra lineare e geometria
Davvero non ti dice niente? io non so più dove cercarlo!
Il conto è molto semplice, con o senza Taylor...
A quanto capisco, vuoi calcolare la derivata direzionale di \(r(\mathbf{x}):=|\mathbf{x}|\) in \(\mathbf{x}\) lungo la direzione di \(\mathbf{v}\).
Qui puoi procedere in diversi modi.
Ad esempio, usando la definizione di norma, di derivata direzionale ed il limite notevole della potenza (i.e. \(\lim_{y\to 0} \frac{(1+y)^a - 1}{y} = a\)), per \(\mathbf{x}\neq \mathbf{0}\) hai:
\[
\begin{split}
\lim_{h\to 0} \frac{r(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - r(\mathbf{x})}{h} &= \lim_{h\to 0} \frac{r(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - r(\mathbf{x})}{h}\\
&= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{|\mathbf{x}+h\mathbf{v}|^2} - |\mathbf{x}|}{h}\\
&= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{|\mathbf{x}|^2 +2h \langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle + h^2 |\mathbf{v}|^2} - |\mathbf{x}|}{h}\\
&= \lim_{h\to 0} \frac{|\mathbf{x}|\ \sqrt{1 +2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2\frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}} - |\mathbf{x}|}{h}\\
&= \lim_{h\to 0} \frac{|\mathbf{x}|}{h}\ \left(\sqrt{1 +2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}} - 1\right)\\
&= \lim_{h\to 0} \frac{|\mathbf{x}|}{h}\ \frac{\sqrt{1 +2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}} - 1}{2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}}\ \left( 2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}\right)\\
&= \lim_{h\to 0} \left( 2 \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|} + h \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|}\right)\ \frac{\sqrt{1 +2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}} - 1}{2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}}\\
&= \cancel{2}\ \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|}\ \frac{1}{\cancel{2}}\\
&= \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|}
\end{split}
\]
quindi:
\[
\frac{\partial r}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{x}) = \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|}\; .
\]
D'altro canto, tutto questo conto è evitabilissimo: infatti \(r(\mathbf{x})\) è differenziabile per \(\mathbf{x}\neq \mathbf{0}\) e si ha:
\[
\nabla r(\mathbf{x}) = \frac{1}{r(\mathbf{x})}\ \mathbf{x}\; ,
\]
dunque, per noti fatti di Calcolo, è:
\[
\frac{\partial r}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{x}) = \langle \nabla r(\mathbf{x}) , \mathbf{v}\rangle = \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{r(\mathbf{x})} = \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|}
\]
come già ottenuto sopra.
Se proprio si vuole usare Taylor lungo la direzione di \(\mathbf{v}\) bisogna ragionare come segue: prendiamo la funzione ausiliaria:
\[
\begin{split}
\phi (h) &:= r(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) \\
&= \sqrt{|\mathbf{x}|^2 + 2h\ \langle \mathbf{x} ,\mathbf{v}\rangle + h^2\ |\mathbf{v}|^2}\\
&= |\mathbf{x}|\ \sqrt{1 +2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}}\; ;
\end{split}
\]
dato che per \(h\to 0\) si ha \(2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2} \to 0\) è possibile scrivere lo sviluppo di MacLaurin di \(\phi\) centrato in \(0\) usando lo sviluppo (noto) della radice, i.e. \(\sqrt{1+y} = 1+\frac{1}{2}y + \text{o}(y)\):
\[
\begin{split}
\phi (h) &= |\mathbf{x}|\ \left(1+\frac{1}{2}\ \left( 2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}\right) + \text{o}\left( 2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}\right)\right)\\
&= |\mathbf{x}|\ \left( 1 + h\ \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + \text{o}(h)\right)\\
&= |\mathbf{x}| + h\ \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|} + \text{o}(h)\; ;
\end{split}
\]
dato che:
\[
\frac{\partial r}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{x}) = \phi^\prime (0)
\]
e che \(\phi^\prime (0)\) è il coefficiente di \(h\) nell'espansione di MacLaurin di \(\phi\), risulta:
\[
\frac{\partial r}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{x}) = \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|}\; .
\]
Insomma, vai sempre a parar lì...
A quanto capisco, vuoi calcolare la derivata direzionale di \(r(\mathbf{x}):=|\mathbf{x}|\) in \(\mathbf{x}\) lungo la direzione di \(\mathbf{v}\).
Qui puoi procedere in diversi modi.
Ad esempio, usando la definizione di norma, di derivata direzionale ed il limite notevole della potenza (i.e. \(\lim_{y\to 0} \frac{(1+y)^a - 1}{y} = a\)), per \(\mathbf{x}\neq \mathbf{0}\) hai:
\[
\begin{split}
\lim_{h\to 0} \frac{r(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - r(\mathbf{x})}{h} &= \lim_{h\to 0} \frac{r(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - r(\mathbf{x})}{h}\\
&= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{|\mathbf{x}+h\mathbf{v}|^2} - |\mathbf{x}|}{h}\\
&= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{|\mathbf{x}|^2 +2h \langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle + h^2 |\mathbf{v}|^2} - |\mathbf{x}|}{h}\\
&= \lim_{h\to 0} \frac{|\mathbf{x}|\ \sqrt{1 +2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2\frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}} - |\mathbf{x}|}{h}\\
&= \lim_{h\to 0} \frac{|\mathbf{x}|}{h}\ \left(\sqrt{1 +2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}} - 1\right)\\
&= \lim_{h\to 0} \frac{|\mathbf{x}|}{h}\ \frac{\sqrt{1 +2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}} - 1}{2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}}\ \left( 2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}\right)\\
&= \lim_{h\to 0} \left( 2 \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|} + h \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|}\right)\ \frac{\sqrt{1 +2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}} - 1}{2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}}\\
&= \cancel{2}\ \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|}\ \frac{1}{\cancel{2}}\\
&= \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|}
\end{split}
\]
quindi:
\[
\frac{\partial r}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{x}) = \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|}\; .
\]
D'altro canto, tutto questo conto è evitabilissimo: infatti \(r(\mathbf{x})\) è differenziabile per \(\mathbf{x}\neq \mathbf{0}\) e si ha:
\[
\nabla r(\mathbf{x}) = \frac{1}{r(\mathbf{x})}\ \mathbf{x}\; ,
\]
dunque, per noti fatti di Calcolo, è:
\[
\frac{\partial r}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{x}) = \langle \nabla r(\mathbf{x}) , \mathbf{v}\rangle = \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{r(\mathbf{x})} = \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|}
\]
come già ottenuto sopra.
Se proprio si vuole usare Taylor lungo la direzione di \(\mathbf{v}\) bisogna ragionare come segue: prendiamo la funzione ausiliaria:
\[
\begin{split}
\phi (h) &:= r(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) \\
&= \sqrt{|\mathbf{x}|^2 + 2h\ \langle \mathbf{x} ,\mathbf{v}\rangle + h^2\ |\mathbf{v}|^2}\\
&= |\mathbf{x}|\ \sqrt{1 +2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}}\; ;
\end{split}
\]
dato che per \(h\to 0\) si ha \(2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2} \to 0\) è possibile scrivere lo sviluppo di MacLaurin di \(\phi\) centrato in \(0\) usando lo sviluppo (noto) della radice, i.e. \(\sqrt{1+y} = 1+\frac{1}{2}y + \text{o}(y)\):
\[
\begin{split}
\phi (h) &= |\mathbf{x}|\ \left(1+\frac{1}{2}\ \left( 2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}\right) + \text{o}\left( 2h \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + h^2 \frac{|\mathbf{v}|^2}{|\mathbf{x}|^2}\right)\right)\\
&= |\mathbf{x}|\ \left( 1 + h\ \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|^2} + \text{o}(h)\right)\\
&= |\mathbf{x}| + h\ \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|} + \text{o}(h)\; ;
\end{split}
\]
dato che:
\[
\frac{\partial r}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{x}) = \phi^\prime (0)
\]
e che \(\phi^\prime (0)\) è il coefficiente di \(h\) nell'espansione di MacLaurin di \(\phi\), risulta:
\[
\frac{\partial r}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{x}) = \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{x}|}\; .
\]
Insomma, vai sempre a parar lì...
Grazie Gugo82, era la parte di MacLaurin che mi mancava. Grazie mille!!
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