Calcolo differenziale
Riporto due esercizietti banale per cercare di capire come affrontare i problemi in più variabili:
1) Come posso verificare se: $root(3)(x^2y)$ sia differenziabile nell'origine?
Provando con il teorema del differenziale calcolo le derivate parziali:
$(delf(x, y))/(delx) = 2/3root(3)(y/x)$
$(delf(x, y))/(dely) = 1/3root(3)(x^2/y^2)$
Le derivate parziali non sono quindi definite nell'origine?
2) $f(x, y) = (xy)/(x^2 + y^2)$ è continua nell'origine?
Se valuto la funzione lungo l'asse x ottengo: $lim_(x to 0)f(x, 0) = lim_(x to 0)(0)/(x^2 + 0) = 0$
Se valuto la funzione lungo la bisettrice $y = x$ ottengo: $lim_(x to 0)f(x, x) = lim_(x to 0)(x^2)/(x^2 + x^2) = 1/2$
Muovendomi lungo due direzioni diverse ottengo due limiti diversi.. quindi il limite non esiste? Ergo non è continua nell'origine?
Devo perciò andare a tentativi o ci sono altre tecniche più generali?
Grazie!
1) Come posso verificare se: $root(3)(x^2y)$ sia differenziabile nell'origine?
Provando con il teorema del differenziale calcolo le derivate parziali:
$(delf(x, y))/(delx) = 2/3root(3)(y/x)$
$(delf(x, y))/(dely) = 1/3root(3)(x^2/y^2)$
Le derivate parziali non sono quindi definite nell'origine?
2) $f(x, y) = (xy)/(x^2 + y^2)$ è continua nell'origine?
Se valuto la funzione lungo l'asse x ottengo: $lim_(x to 0)f(x, 0) = lim_(x to 0)(0)/(x^2 + 0) = 0$
Se valuto la funzione lungo la bisettrice $y = x$ ottengo: $lim_(x to 0)f(x, x) = lim_(x to 0)(x^2)/(x^2 + x^2) = 1/2$
Muovendomi lungo due direzioni diverse ottengo due limiti diversi.. quindi il limite non esiste? Ergo non è continua nell'origine?
Devo perciò andare a tentativi o ci sono altre tecniche più generali?
Grazie!
Risposte
Ma no, non è così difficile:
$(delf(x, y))/(delx) = 2/3root(3)(y/x)$
Per y=x:
$(delf(x, y))/(delx)=2/3$
Per y=-x:
$(delf(x, y))/(delx)=-2/3$
Ciò basta per dire che la derivata parziale non è continua.
Però la funzione potrebbe essere tranquillamente differenziabile anche se non è $C^1$.
Allora bisogna verificare direttamente la definizione di differenziabilità. Non voglio mettere in discussione quello che ha detto lupogrigio, però non sono sicuro che quello che ha detto sia giusto...
$(delf(x, y))/(delx) = 2/3root(3)(y/x)$
Per y=x:
$(delf(x, y))/(delx)=2/3$
Per y=-x:
$(delf(x, y))/(delx)=-2/3$
Ciò basta per dire che la derivata parziale non è continua.
Però la funzione potrebbe essere tranquillamente differenziabile anche se non è $C^1$.
Allora bisogna verificare direttamente la definizione di differenziabilità. Non voglio mettere in discussione quello che ha detto lupogrigio, però non sono sicuro che quello che ha detto sia giusto...
"amel":
Ma no, non è così difficile:
$(delf(x, y))/(delx) = 2/3root(3)(y/x)$
Per y=x:
$(delf(x, y))/(delx)=2/3$
Per y=-x:
$(delf(x, y))/(delx)=-2/3$
Ciò basta per dire che la derivata parziale non è continua.
Il fatto che siano diverse lungo due direzioni diverse ti garantisce che le derivate parziali non siano continue? Perchè?
Perchè così prese due successioni $(x_n,x_n)->(0,0), (x_n,-x_n)->(0,0)$ per $n->oo$, abbiamo:
$(delf(x_n,x_n))/(delx)->2/3$
$(delf(x_n,-x_n))/(delx)->-2/3$
$(delf(x_n,x_n))/(delx)->2/3$
$(delf(x_n,-x_n))/(delx)->-2/3$
Non capisco cosa tu voglia dire con quelle successioni.
Comunque stavo pensando ad un piano: ha le derivate parziali costanti (quindi continue) e potrebbero benissimo essere diverse; però è differenziabile in tutto R.. o no?
Comunque stavo pensando ad un piano: ha le derivate parziali costanti (quindi continue) e potrebbero benissimo essere diverse; però è differenziabile in tutto R.. o no?
Una funzione f è continua in un punto se per ogni successione $(x_n)->x_0$ si ha che $f(x_n)->f(x_0)$...
Ragazzi
mi pare che il mio intervento [scritto tra l’altro in fretta e furia…] abbia suscitato un poco di ‘confusione’ e di ciò mi rammarico vivamente…
In realtà la mia intenzione non era rispondere al quesito posto all’inizio, vale a dire se la funzione…
$f(x,y)=root(3) (x^2*y)$ (1)
… è differenziabile in $(0,0)$, quanto quello di specificare, contrariamente a quanto detto da Luca D., che la (1) ammette derivate parziali $p$ e $q$ in $(0,0)$ ed è $p=q=0$. Per rispondere in modo corretto alla domanda, credo che la strada più semplice da seguire sia quella di verificare la differenziabilità della (1) in $(0,0)$ ricorrendo alla definizione stessa di differenziabilità che qui riporto…
Sia $f(x,y)$ definita in un intorno $A$ del punto $(x_0,y_0)$ e si incrementino $x_0$ e $y_0$ rispettivamente di $h$ e $k$. Consideriamo l’incremento corrispondente della funzione…
$deltaf= f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)$
Posto…
$rho=sqrt(h^2+k^2)$
... se vale la relazione…
$deltaf= p*h+q*k+rho*epsilon(rho)$ (2)
… ove $p$ e $q$ non dipendono da $h$ e $k$ ed $epsilon(rho)$ è infinitesimo con $rho$, allora $f(x,y)$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$
Andando a calcolare l’incremento della (1) in $(0,0)$ si trova…
$deltaf= f(h,k)-f(0,0)=root (3) (h^2*k)$ (3)
Ponendo $h=rho*cos theta$, $k=rho*sin theta$, si trova che è…
$deltaf= 0*h+0*k+rho*root(3) (cos^2 theta*sin theta)$ (4)
Confrontando la (4) con la (2) si trova…
$epsilon(rho) = root (3) (cos^2 theta*sin theta)$ (5)
… e quindi $epsilon$ non è inifinitesimo con $rho$. Di conseguenza la (1) non è differenziabile in $(0,0)$…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
mi pare che il mio intervento [scritto tra l’altro in fretta e furia…] abbia suscitato un poco di ‘confusione’ e di ciò mi rammarico vivamente…
In realtà la mia intenzione non era rispondere al quesito posto all’inizio, vale a dire se la funzione…
$f(x,y)=root(3) (x^2*y)$ (1)
… è differenziabile in $(0,0)$, quanto quello di specificare, contrariamente a quanto detto da Luca D., che la (1) ammette derivate parziali $p$ e $q$ in $(0,0)$ ed è $p=q=0$. Per rispondere in modo corretto alla domanda, credo che la strada più semplice da seguire sia quella di verificare la differenziabilità della (1) in $(0,0)$ ricorrendo alla definizione stessa di differenziabilità che qui riporto…
Sia $f(x,y)$ definita in un intorno $A$ del punto $(x_0,y_0)$ e si incrementino $x_0$ e $y_0$ rispettivamente di $h$ e $k$. Consideriamo l’incremento corrispondente della funzione…
$deltaf= f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)$
Posto…
$rho=sqrt(h^2+k^2)$
... se vale la relazione…
$deltaf= p*h+q*k+rho*epsilon(rho)$ (2)
… ove $p$ e $q$ non dipendono da $h$ e $k$ ed $epsilon(rho)$ è infinitesimo con $rho$, allora $f(x,y)$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$
Andando a calcolare l’incremento della (1) in $(0,0)$ si trova…
$deltaf= f(h,k)-f(0,0)=root (3) (h^2*k)$ (3)
Ponendo $h=rho*cos theta$, $k=rho*sin theta$, si trova che è…
$deltaf= 0*h+0*k+rho*root(3) (cos^2 theta*sin theta)$ (4)
Confrontando la (4) con la (2) si trova…
$epsilon(rho) = root (3) (cos^2 theta*sin theta)$ (5)
… e quindi $epsilon$ non è inifinitesimo con $rho$. Di conseguenza la (1) non è differenziabile in $(0,0)$…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Grazie per il chiarimento!
Riporto per completezza anche un'altro procedimento che nasce dal fatto che le derivate direzionali sono cobinazione lineare delle derivate parziali:
calcoliamo le derivate direzionali lungo $v = (cos(theta), sin(theta)$; esse vengono tutte diverse da 0. Non possono quindi essere combinazione lineare delle parziali, in quanto come lupo grigio ha brillantemente dimostrato esse sono nulle! Ergo, la funzione non è differenziabile nell'origine!
Passiamo ora al SECONDO quesito che avevo proposto
Come Ravok aveva giustamente consigliato, poniamo una piccola modifica, e la funzione diventa:
$f(x, y) = {[(xy)/(x^2 + y^2) iff (x, y) != (0, 0)],[0 iff (x, y) = (0, 0)]}$
L'obiettivo era calcolare se è continua nell'origine.
Nell'origine vale 0, quindi dobbiamo vedere se anche il limite vale 0.
- Se valuto la funzione lungo l'asse x ottengo: $lim_(x to 0)f(x, 0) = lim_(x to 0)(0)/(x^2 + 0) = 0$
- Se valuto la funzione lungo la bisettrice $y = x$ ottengo: $lim_(x to 0)f(x, x) = lim_(x to 0)(x^2)/(x^2 + x^2) = 1/2$
Lungo due direzioni diverse otteniamo due limiti diversi.. concludo che il limite non esiste nell'origine?
Grazie ancora per l'attenzione!
Riporto per completezza anche un'altro procedimento che nasce dal fatto che le derivate direzionali sono cobinazione lineare delle derivate parziali:
calcoliamo le derivate direzionali lungo $v = (cos(theta), sin(theta)$; esse vengono tutte diverse da 0. Non possono quindi essere combinazione lineare delle parziali, in quanto come lupo grigio ha brillantemente dimostrato esse sono nulle! Ergo, la funzione non è differenziabile nell'origine!
Passiamo ora al SECONDO quesito che avevo proposto
Come Ravok aveva giustamente consigliato, poniamo una piccola modifica, e la funzione diventa:
$f(x, y) = {[(xy)/(x^2 + y^2) iff (x, y) != (0, 0)],[0 iff (x, y) = (0, 0)]}$
L'obiettivo era calcolare se è continua nell'origine.
Nell'origine vale 0, quindi dobbiamo vedere se anche il limite vale 0.
- Se valuto la funzione lungo l'asse x ottengo: $lim_(x to 0)f(x, 0) = lim_(x to 0)(0)/(x^2 + 0) = 0$
- Se valuto la funzione lungo la bisettrice $y = x$ ottengo: $lim_(x to 0)f(x, x) = lim_(x to 0)(x^2)/(x^2 + x^2) = 1/2$
Lungo due direzioni diverse otteniamo due limiti diversi.. concludo che il limite non esiste nell'origine?
Grazie ancora per l'attenzione!
Cioè non è continua nell'origine, esatto
Ciao
Ciao
"Ravok":
Cioè non è continua nell'origine, esatto
Ciao
Grazie ancora!!
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