Calcolo differenziale
Riporto due esercizietti banale per cercare di capire come affrontare i problemi in più variabili:
1) Come posso verificare se: $root(3)(x^2y)$ sia differenziabile nell'origine?
Provando con il teorema del differenziale calcolo le derivate parziali:
$(delf(x, y))/(delx) = 2/3root(3)(y/x)$
$(delf(x, y))/(dely) = 1/3root(3)(x^2/y^2)$
Le derivate parziali non sono quindi definite nell'origine?
2) $f(x, y) = (xy)/(x^2 + y^2)$ è continua nell'origine?
Se valuto la funzione lungo l'asse x ottengo: $lim_(x to 0)f(x, 0) = lim_(x to 0)(0)/(x^2 + 0) = 0$
Se valuto la funzione lungo la bisettrice $y = x$ ottengo: $lim_(x to 0)f(x, x) = lim_(x to 0)(x^2)/(x^2 + x^2) = 1/2$
Muovendomi lungo due direzioni diverse ottengo due limiti diversi.. quindi il limite non esiste? Ergo non è continua nell'origine?
Devo perciò andare a tentativi o ci sono altre tecniche più generali?
Grazie!
1) Come posso verificare se: $root(3)(x^2y)$ sia differenziabile nell'origine?
Provando con il teorema del differenziale calcolo le derivate parziali:
$(delf(x, y))/(delx) = 2/3root(3)(y/x)$
$(delf(x, y))/(dely) = 1/3root(3)(x^2/y^2)$
Le derivate parziali non sono quindi definite nell'origine?
2) $f(x, y) = (xy)/(x^2 + y^2)$ è continua nell'origine?
Se valuto la funzione lungo l'asse x ottengo: $lim_(x to 0)f(x, 0) = lim_(x to 0)(0)/(x^2 + 0) = 0$
Se valuto la funzione lungo la bisettrice $y = x$ ottengo: $lim_(x to 0)f(x, x) = lim_(x to 0)(x^2)/(x^2 + x^2) = 1/2$
Muovendomi lungo due direzioni diverse ottengo due limiti diversi.. quindi il limite non esiste? Ergo non è continua nell'origine?
Devo perciò andare a tentativi o ci sono altre tecniche più generali?
Grazie!
Risposte
Per il 2. Di solito controlli se limite destro e sinistro coincidono con il valore nel punto studiato. In questo caso si vedeva a occhio in quanto in $(0,0)$ il denominatore è uguale a $0$
Per l'1. Per determinare la differenziabilità basta verificare l'esistenza del gradiente.
Nel caso a) è possibile applicare direttamente la definizione di derivate parziali. Considerata…
$f(x,y)= root(3) (x^2*y)$ (1)
… in $(0,0)$ si ha…
$(delf(x,y))/(delx) = lim_(h->0) (f(h,0)-f(0,0))/h=0$
$(delf(x,y))/(dely)=lim_(h->0) (f(0,h)-f(0,0))/h=0$ (2)
Le derivate parziali pertanto esistono e sono entrambe nulle…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$f(x,y)= root(3) (x^2*y)$ (1)
… in $(0,0)$ si ha…
$(delf(x,y))/(delx) = lim_(h->0) (f(h,0)-f(0,0))/h=0$
$(delf(x,y))/(dely)=lim_(h->0) (f(0,h)-f(0,0))/h=0$ (2)
Le derivate parziali pertanto esistono e sono entrambe nulle…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
Nel caso a) è possibile applicare direttamente la definizione di derivate parziali. Considerata…
$f(x,y)= root(3) (x^2*y)$ (1)
… in $(0,0)$ si ha…
$(delf(x,y))/(delx) = lim_(h->0) (f(h,0)-f(0,0))/h=0$
$(delf(x,y))/(dely)=lim_(h->0) (f(0,h)-f(0,0))/h=0$ (2)
Le derivate parziali pertanto esistono e sono entrambe nulle…
Ok, però non so ancora se siano continue nell'origine, o sbaglio?
Grazie per la risposta.
Scusa ma se in $(0,0)$ non è continua, come fa a essere differenziabile?
"Ravok":
Per l'1. Per determinare la differenziabilità basta verificare l'esistenza del gradiente.
Ok, l'ho calcolato. E in 0, come lupo grigio consiglia, vale (0, 0). Posso dunque affermare che la funzione è differenziabile nell'origine?
"Ravok":
Per il 2. Di solito controlli se limite destro e sinistro coincidono con il valore nel punto studiato. In questo caso si vedeva a occhio in quanto in $(0,0)$ il denominatore è uguale a $0$
Non ti seguo.. anche il numeratore vale 0.. :S
"Ravok":
Scusa ma se in $(0,0)$ non è continua, come fa a essere differenziabile?
Da dove lo vedi che non è continua?
Un momento! Ma l'esistenza delle derivate parziali non basta a concludere in generale che una funzione sia differenziabile!
Allora,
2.
La funzione non è continua in $(0,0)$, in quanto il denominatore si annulla.
1.
Come ti ha fatto vedere lupo grigio, le derivate parziali esistono, e questa condizione è sufficiente per affermare che è differenziabile... scusa se ti avevo fatto confusione...avevo messo insieme tutte e due le funzioni..
Ciao
2.
La funzione non è continua in $(0,0)$, in quanto il denominatore si annulla.
1.
Come ti ha fatto vedere lupo grigio, le derivate parziali esistono, e questa condizione è sufficiente per affermare che è differenziabile... scusa se ti avevo fatto confusione...avevo messo insieme tutte e due le funzioni..
Ciao
"Ravok":
le derivate parziali esistono, e questa condizione è sufficiente per affermare che è differenziabile...
Ma il teorema del differenziale non dice che le derivate parziali devono esistere e essere anche continue?
Si.
Ma ora che controllo un attimo, non è continua per niente proprio. Senti ma sei sicuro che i testi sono giusti? Di solito viene introdotto un altro valore che la funzione assume quando il denominatore si annulla.
Ma ora che controllo un attimo, non è continua per niente proprio. Senti ma sei sicuro che i testi sono giusti? Di solito viene introdotto un altro valore che la funzione assume quando il denominatore si annulla.
"Ravok":
Si.
Ma ora che controllo un attimo, non è continua per niente proprio. Senti ma sei sicuro che i testi sono giusti? Di solito viene introdotto un altro valore che la funzione assume quando il denominatore si annulla.
Aspetta, stiamo mischiando i due esercizi..
Soffermiamoci un'attimo sul primo: verifica della differenziabilità nell'origine.
Abbiamo appurato che il gradiente esiste e vale (0, 0).
A questo punto dobbiamo verificare se le derivate parziali sono continue nell'origine in modo da applicare il teorema del differenziale, giusto?
Giusto. Ma la mia perplessità è che in $(0,0)$
$(delf(x,y))/(delx)$ non esiste, infatti risulta $2/3 sqrt(y/x)$ ci possiamo quindi fermare, perchè abbiamo trovato che la derivata rispetto a x non esiste. Come potrebbe essere continua quindi? Ne trai la conclusione che hai scritto prima.
$(delf(x,y))/(delx)$ non esiste, infatti risulta $2/3 sqrt(y/x)$ ci possiamo quindi fermare, perchè abbiamo trovato che la derivata rispetto a x non esiste. Come potrebbe essere continua quindi? Ne trai la conclusione che hai scritto prima.
"Ravok":
Giusto. Ma la mia perplessità è che in $(0,0)$
$(delf(x,y))/(delx)$ non esiste, infatti risulta $2/3 sqrt(y/x)$ ci possiamo quindi fermare, perchè abbiamo trovato che la derivata rispetto a x non esiste. Come potrebbe essere continua quindi? Ne trai la conclusione che hai scritto prima.
In quel modo arriviamo ad una forma indeterminata.. siamo sicuri che non esista?
E il calcolo di lupo grigio?
Lupo grigio ha mostrato che il limite esiste. Noi stiamo controllando che sia continua, quindi si necessita il confronto tra valore della funzione nel punto e valore dei limiti destro e sinistro.
"Ravok":
Lupo grigio ha mostrato che il limite esiste. Noi stiamo controllando che sia continua, quindi si necessita il confronto tra valore della funzione nel punto e valore dei limiti destro e sinistro.
Quindi la definizione formale di derivata (quella utilizzata da lupo grigio per intenderci) non ci fornisce il reale valore che assume la derivata in quel punto ma il limite della derivata?
Esattamente. Per trovare il valore esatto dobbiamo usare le derivate parziali (il corrispondente della derivata vera e propria in una dimensione), mentre per sapere come si comporta la funzione nell'intorno del punto che stiamo studiando dobbiamo usare il limite.
"Ravok":
Esattamente. Per trovare il valore esatto dobbiamo usare le derivate parziali (il corrispondente della derivata vera e propria in una dimensione), mentre per sapere come si comporta la funzione nell'intorno del punto che stiamo studiando dobbiamo usare il limite.
Ma le derivate parziali (come le derivate in una dimensione) non si calcolano proprio come limite del rapporto incrementale?
Allora, a scanso di equivoci:
Le derivate parziali le trovi genericamente con le solite formule della derivata unidimensionale. Per sapere il valore della derivata nel punto che ti interessa, ci metti dentro i tuoi dati e trovi il valore.
Per quanto riguarda il limite, fai il 'rapporto incrementale' per studiare l'andamento della derivata nell'intorno del tuo punto.
Ovviamente in generale puoi trovare la derivata parziale di un punto con il rapporto limite, come per la derivata unidimensionale, ma questo richiede tempo.
In questo caso hai un esempio che ti spiega che con il limite trovi un valore ma inserendo il tuo punto nelle parziali ne trovi un altro.
Le derivate parziali le trovi genericamente con le solite formule della derivata unidimensionale. Per sapere il valore della derivata nel punto che ti interessa, ci metti dentro i tuoi dati e trovi il valore.
Per quanto riguarda il limite, fai il 'rapporto incrementale' per studiare l'andamento della derivata nell'intorno del tuo punto.
Ovviamente in generale puoi trovare la derivata parziale di un punto con il rapporto limite, come per la derivata unidimensionale, ma questo richiede tempo.
In questo caso hai un esempio che ti spiega che con il limite trovi un valore ma inserendo il tuo punto nelle parziali ne trovi un altro.
"Ravok":
Allora, a scanso di equivoci:
Le derivate parziali le trovi genericamente con le solite formule della derivata unidimensionale. Per sapere il valore della derivata nel punto che ti interessa, ci metti dentro i tuoi dati e trovi il valore.
Per quanto riguarda il limite, fai il 'rapporto incrementale' per studiare l'andamento della derivata nell'intorno del tuo punto.
Ovviamente in generale puoi trovare la derivata parziale di un punto con il rapporto limite, come per la derivata unidimensionale, ma questo richiede tempo.
In questo caso hai un esempio che ti spiega che con il limite trovi un valore ma inserendo il tuo punto nelle parziali ne trovi un altro.
Ok, ma ho appena trovato questo esempio sul mio testo:
Si voglia calcolare: $(del(ysqrt(x)))/(delx)|_((x, y)=(0, 0))$
Se si calcola, formalmente: $(del(ysqrt(x)))/(delx)=y/(2sqrt(x)$
e poi si tenta di valutare l'espressione trovata in (0, 0) si trova $0/0$, che non ha senso.
Invece, dalla definizione si ha che: $(del(ysqrt(x)))/(delx)|_((x, y)=(0, 0))$ $= d/dx(0sqrt(x))|_(x=0) = d/dx(0) = 0$
La derivata parziale esiste, dunque, nell'origine.
Quindi... esiste! Oh mamma mia, mi sto rincitrullendo..
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