Calcolo di volumi con integrali

[Benihime1]

l'esercizio mi chiede di trovare il volume del solido delimitato dalle superfici di equazione
$\{(z=x^2+y^2),(z=1-y^2):}$
poiche non riuscivo a immaginarmi il solido in questione,ho fatto un passaggio che non so se sia lecito:cambiare le equazioni;
sostituisco una delle 2 equazioni con la loro somma e ottengo
$\{(x^2+(y/(1/sqrt(2)))^2=1),(z=1-y^2):}$
e le 2 superfici in questione sono queste


ma mi risulta che il solido racchiuso fra le 2 superfici sia "infinito" verso il basso
da cosa dipende?è un errore cambiare le equazioni?se sì perchè?e mi spiegte come faccio allora a immaginarmi il solido senza cambiare le equazioni?

[ciampax]

Cambi l'equazione, cambi il solido: il passaggio non è lecito. Infatti il solido originale è l'intersezione tra un paraboloide rotondo, con vertice nell'origine e rivolto verso l'alto, con una superficie a sella data dalla traslazione di una parabola nel piano $zy$, come hai disegnato tu. Pertanto la superficie è chiusa.
Al di là del disegno, considerando che in una delle equazioni hai una superficie di tipo "cilindrico" (il paraboloide) ti consiglio di passare a coordinate cilindriche e riscrivere ciò che ottieni (considera che l'angolo $\theta$ sul piano $xy$, per la simmetria circolare del paraboloide, varia neccessariamente in $[0,2\pi]$, per cui le condizioni permettono di determinare la variazione di $\rho,\ z$ in funzione uno dell'altro).

[Benihime1]

"ciampax":Cambi l'equazione, cambi il solido: il passaggio non è lecito.

ok grazie..immgino che ciò che resta invariato sia solo l'intersezione fra le 2 superfici (che però è una curva) giusto?
voglio assicurarmi di aver capito bene

Ora provo a svolgere l'esercizio in coordinate cilindriche grazie

[ciampax]

Esatto, se ti metti a fare quelle sostituzioni, ciò che determini è una curva che rappresenta l'intersezione tra le due superfici.